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1、热点2解方程（组)的方法和技巧*热点注释方程是中学数学常用的一种解题手段，也是近年来中考命题的核心之一，因此，掌握常见解方程的方法与技巧，对做好中考的备考工作将起到重要的作用，解方程（组）的实质是“消元”和“降次",实用的解法有加减消元法、代入消元法、因式分解法、定义法、拆项法、利用韦达定理、换元法,下面按照解方程(组）的方法分别予以介绍.**热点精析加减消元法在方程组中，常将一个未知数的系数化成相等或互为相反数，然后将方程两边同加（减)，以达消元的目的。例1（2001年天津试题)已知且x－y=10,则2xy=.[解析
2、］将两个方程左右两边分别相加得2x=14,即x=7,分别相加减得2y=－6,即y=－3,所以2xy=－42。代入消元法在一些方程和方程组中，往往用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，将方程组变成关于某一个未知数的一元方程，达到消元的目的，从而求解。例2(2001年江苏无锡试题）若x=2是关于x的方程2x+3k－1=0的解，则k的值是。[解析］把x=2直接代入2x+3k－1=0中，得3k+3=0，解得k=－1.例3(2001年湖南怀化试题)方程组的解是。［解析]把y2=2x代入方程x2－y2=0中，得x2－2x=0，
3、解得：因式分解法因式分解法常用在一元二次方程、高次方程、二元二次方程组中,适当运用因式分解法，将高次方程分解为几个一次因式之积,从而达到降次的目的。例4(《代数》第三册第61页B组习题)解方程组［解析]由方程(1)得(x+y）2=25即x+y=±5由方程(2)得(3x－2y)2=9即3x－2y=±3因此原方程组可化为四个方程组：解得定义法依据定义本身满足的条件解一些无理方程，往往比常规方法简便。例5（湖北荆州试题）解方程[解析]将方程变形为：,利用二次根式的定义满足的条件解题.原方程可变形为依二次根式成立的条件知：x2
4、－2x=0，解之得x1=0,x2=2拆项法利用因式分解将代数式拆项，使方程左右两边部分能够抵消,从而将繁琐的方程化得简单、易解。例6（2001年陕西试题）解方程［解析］把化成，则方程变为,从而x=2获得简解.换元法换元法常用在分式方程、高次方程、无理方程及方程组中,换元的目的是将高次降次、变无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，在解题的过程中如能恰当的使用换元法，将起到事半功倍的效果。例7（《代数》）第三册第52页例2）解方程x4－6x2+5=0[解析]此题为一个高次方程,可以利用换元法解,即用辅助未知数代替方程里
5、的x2，使这个双二次方程变为关于y的一元二次方程，求出y以后,就可以进一步求出原方程的根.设x2=y,那么x4=y2，于是原方程变为y2－6y+5=0解之得y1=1，y2=5当y1=1时,x2=1,x=±1;当y2=5时，x2=5，x=所以原方程有四个根：x1=1,x2=－1,x3=，x4例8（2001年北京东城)若，则2x2－5x－1的值是。[解析］设y=2x2－5x+1，则原方程可变为，解得y=2或y=4即2x2－5x－1=0或2x2－5x－1=2例9（2002年河北试题）已知方程，用换元法解方程时,如果设，那么得
6、到关于y的方程是（用一元二次方程的标准形式表示）[解析]时，原方程可变形为y2－y－2=0例10已知形如（C为常数）的方程两根是则方程的根是[解析］利用换元法。令y=x－1，则原方程可变形为:此方程和已知方程类似，即有所以利用韦达定理解方程韦达定理在一元二次方程中有广泛的应用，其中不解方程，已知方程的一根,求方程另一根便是很典型的应用.下面予以介绍：例11（《代数》第三册第29页例1）已知方程5x2+kx－6=0的一根是2,求它的另一个根及k的值.[解析]设方程的另一个为x1,那么又（）+2=所以方程的另一根是，的值是
7、—7.以上我们介绍了几种常用的解方程的方法,当然对于一元一次方程,一元二次方程,可以按照解方程的一般步骤去做，但对于一些特殊的方程和方程组，则需要通过“消元”、“降次”变为简单的方程(组）,方能求解.上面这些方法既有联系,又有区别，有时一个题中可能要糅合几种方法的应用,因此，我们在掌握解一般方程的解法的同时，必须学会分析方程的结构特点,灵活运用解方程组的方法与技巧。***热点精练一.选择题1．用换元法解方程，若设y=x2－x,则原方程可化为（)A.y2+y－6=0B。y2－y－6=0C。y2+y+6=0D.y2－y+6
8、=02.方程的根是(）A.3或0B.0或1C.0或2D.－3或03.方程的解为(）A。B。C.D.二。填空题4。方程组的解是,5.解方程组时,若将x，y看成是一个一元二次方程的根,则这个一元二次方程是。三..解答题6.解方程7。解方程组8。已知：方程组(1)求证：不论k为何值时,此方程组总一定有实数解；(2）设等腰的三边长分别为a
