经典趣味数学题—分油问题的一般性求解.doc

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1、经典趣味数学题—分油问题的一般性求解分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它有很多种表述版本。例如,版本1:日本分油问题。有一个装满油的8公升容器,另有一个5公升及3公升的空容器各一个,且三个容器都没有刻度,试将此8公升油分成4公升。.版本2:法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题:某人有12品脱美酒,想把一半赠人,但没有6品脱的容器,而只有一个8品脱和一个5品脱的容器,问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中.版本3:我国的韩信分油问题:韩信遇到两个路人争执不下,原因是两人有装满10斤的油¨

2、和两个3斤、7斤的空油¨,无法平均分出两份,每份5斤油。韩信是如何解决这个难题的?版本4:史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述:有装有14千克酒的容器,另外有可装5千克和9千克酒的容器,要把酒平分,该如何办?版本5:别莱利曼在《趣味几何学》中表述:一只水桶,可装12杓水,还有两只空桶,容量分别为9杓和5杓,如何把大水桶的水分成两半?解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。(一)分析思路我们注意到这类题有几个共同的特点:(1)三个容器

3、N!,N2,N按容积由小到大排列,分别为自然数N1,N2,N;得到的油M是小于N的自然数。(2)两个较小容器的容积数N1,N2互素的(不是互素的要简单一些)。(3)由于容器没有刻度,倒油过程中,较小容器总需要倒空或者填满。(4)小容器倒油的次数X、Y是整数,最后需要得到的油M也是正整数.(5)在小容器里得到数量较少的油,如容器N1得到小于等于N1的油;容器N2得到大于N1小于等于N2的油所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。方程列为N2·X+N1·Y=M其中,N=N1+N2,M=(

4、N1+N2)/2,则是平均分油问题,是分油问题的一个特例。与一般不定方程有所不同的是,在倒油问题上,这里X和Y取正值,也可取负值.正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满,负值表示从满油小容器倒出的次数。如果方程有多解,需要寻找一个最优解。X和Y的绝对值越小,表明倒油的次数越少,表明是一个最优解.有了这个解,就可以用来帮助我们完成分油过程.中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去.具体如何实现只需要费一点点脑筋.(二)平均分油实例(1)日本分油问题的不定方程是:5X+3Y=

5、4解为:X=2,Y=-2步数8升容器5升容器3升容器0800135(+1)02323(—1)36204602515(+1)26143(-1)74407步完成日本分油问题.(2)我们来解泊松分酒问题.列方程8X+5Y=6我们得到的解为:X=2,Y=-2,这是一个最优解.也就是从最大容器倒满8升容器2次,5升容器装满后倒出2次进入最大的容器,就会得到来两个6升。步数12品脱容器8品脱容器5品脱容器01200148(+1)02435(—1)39304903518(+1)36165(—1)7660由此,

6、7步解决分油问题。(3)韩信分油的不定方程是:7X+3Y=5;解为:X=2,Y=-3步数10斤油¨7斤油¨3斤油¨01200137(+1)02443(-1)36404613(-1)59106901727(+1)18253(—1)95509步完成韩信分油问题.(4)史泰因豪斯问题的不定方程为:9X+5Y=7,解为:X=3,Y=-4步数14千克容器9千克容器5千克容器01400159(+1)02545(—1)3104041004519(+1)46185(—1)76808635(—1)91130101

7、1031129(+1)312275(—1)13770共13步完成分油问题注意,在大容器等于两小容器且均分的案例中,分油步骤等于X绝对值与Y绝对值之和的2倍减1。这可以判断出实际操作中你是否完成了最简的分油步骤。(5)别莱利曼问题的不定方程为:9X+5Y=6,解为:X=-1,Y=3步数12千克容器9千克容器5千克容器012001705(+1)207535704525(+1)5102061002719(—1)28165(+1)9660共9步完成分油问题(三)分油拓展二元一次不定方程的解法也比较多,我

8、基本上采用尝试方法。不过尝试的时候也有些基本诀窍。比如,从系数大的未知数开始取值,根据系数的奇偶性取值,根据倍数关系取值,根据末位数性质取值,这样就会比较快地得到答案.现在,根据以上不定方程的解和具体的方法,会比较容易地解决分油问题。要求最终要用较小容器来装较小量值的油,如在日本分油问题中,分出的2升油最后只能有3升容器而不能用5胜容器来装。例如,我们可以求解出日本分油问题5X+3Y=1,2,,4,,6,7的所有情形。泊松问题8X+5Y=1,2,3,4,,6,7,,9,10,11的所有情形。韩信

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