最新数字信号处理DSP复习第7章教学讲义ppt.ppt

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1、数字信号处理DSP复习第7章7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.2.1窗函数法设计原理设希望逼近的滤波器频率响应函数为Hd(ejω)，其单位脉冲响应是hd(n)。如果能够由已知的Hd(ejω)求出hd(n)，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。但通常以理想滤波器作为Hd(ejω)，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。例如，线性相位理想低通滤波器的频率响应函数Hd(ejω)为其单位脉冲响应hd(n)为这样用一个有限长的序列h(n)去代替hd(n)，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯（Gibbs）效应。该效

2、应引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求，如图7.2.2所示。吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也称为截断效应。实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.2吉普斯效应RN(n)（矩形序列）就是起对无限长序列的截断作用，可以形象地把RN(n)看做一个窗口，h(n)则是从窗口看到的一段hd(n)序列，所以称h(n)=hd(n)RN(n)为用矩形窗对hd(n)进行加窗处理。下面分析用矩形窗截断的影响和改进的措施。为了叙述方便，用w(n)表示窗函数，用下标表示窗函数类型，矩形窗记为wR(

3、n)。用N表示窗函数长度。根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（7.2.3）式的傅里叶变换：式中，Hd(ejω)和WR(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即WRg(ω)称为矩形窗的幅度函数，如图所示，将图中［－2π/N,2π/N］区间上的一段波形称为WRg(ω)的主瓣，其余较小的波动称为旁瓣。将Hd(ejω)写成Hd(ejω)=Hdg(ω)e－jω，理想低通滤波器的幅度特性函数为：将Hd(ejω)和WR(ejω)代入（7.2.4）式，得到：将H(ejω)写成H(ejω)=Hg(ω)e－jω，则图7.2.3矩形窗加窗效应对hd(n)加矩形窗处理后，Hg(ω)与

4、原理想低通Hdg(ω)的差别有以下两点：（1）在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg(ω)主瓣宽度4π/N。（2）通带内产生了波纹，最大的峰值在ωc－2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影响Hg(ω)波纹幅度的大小。以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。图7.2.4矩形窗函数长度的影响加大N，只能使Hg(ω)过渡带变窄,并不能减小吉布斯效应。以上分析说明，调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度

5、，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。下面介绍几种常用的窗函数。7.2.2典型窗函数介绍本节主要介绍几种常用窗函数的时域表达式、时域波形、幅度特性函数（衰减用dB计量）曲线，以及用各种窗函数设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应和损耗函数曲线。为了叙述简单，我们把这组波形图简称为“四种波形”。下面均以低通为例，Hd(ejω)取理想低通，ωc=π/2，窗函数长度N=31。1．矩形窗（Recta

6、ngleWindow）wR(n)=RN(n)前面已分析过，其幅度函数为（7.2.7）为了描述方便，定义窗函数的几个参数:旁瓣峰值n——窗函数的幅频函数

7、Wg(ω)

8、的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值（dB）；过渡带宽度Bg——用该窗函数设计的FIR数字滤波器（FIRDF）的过渡带宽度；阻带最小衰减s——用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。矩形窗的参数为:n=－13dB；Bg=4π/N;s=－21dB。2．三角形窗（BartlettWindow）其频谱函数为其幅度函数为三角窗的四种波形如图7.2.5所示，参数为:n=－25dB;Bg=8π/N

9、;s=－25dB。图7.2.5三角窗的四种波形3．汉宁（Hanning）窗——升余弦窗当N>>1时，N－1≈N汉宁窗的幅度函数WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.6所示，参数为:n=－31dB;Bg=8π/N;s=－44dB。图7.2.6汉宁窗的四种波形4．哈明（Hamming）窗——改进的升余弦窗其频谱函数WHm(ejω)为其幅度函数WHmg(ω)为当N>>１时，其可近似表示为