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1、傅里叶变换原理积分变换简介1、何为积分变换？所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.22、积分变换的产生数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解.原问题原问题的解直接求解困难变换较简单问题变换后问题的解求解逆变换37注意：于是8则（2）式称为傅立叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.92、傅立叶积分任何一个非周期函数f(t),都可看成是由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的.10{Ow1w2w3wn-1wn{{{w于是11从而按照积分的定义，（4）可以写为：或者12公式（5）称为函数f
2、(t)的傅氏积分公式.定理2若f(t)在(-,+)上满足条件:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,即则（5）在f(t)的连续点成立.上述定理称为傅氏积分定理.13事实上,根据欧拉公式,有14所以由(7),得到于是(6)成立.15§2傅立叶变换1、傅立叶变换的概念上一节介绍了：当f(t)满足一定条件（？）时，在f(t)的连续点处有：16简称傅氏变换,记为F简称傅氏逆变换,记为F还可以将f(t)和F(w)用箭头连接:f(t)F(w).17tf(t)o18解:根据定义,有这就是指数衰减函数的傅氏变换.19根据积分表达式的
3、定义,有注意到化简整理20---钟形脉冲函数.解:根据定义,有21化简整理如何计算？这里利用了以下结果：222、傅立叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式23由此引出以下术语：在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模
4、F(w)
5、称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.显然，振幅函数
6、F(w)
7、是角频率w的偶函数,即24显然相角频谱argF(w)是w的奇函数.25例3求单个矩形脉冲函数的频谱图.解：26请画出其频谱图.频谱为以上术语初步揭示
8、了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！27本讲小结：1.掌握傅氏积分定理的条件和结论；2.掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；3.了解傅氏变换的物理意义.28§3单位脉冲函数2、单位脉冲函数1、单位脉动函数de(t)1/eeOt在物理和工程技术中,有许多物理现象具有脉冲性质.例如断电以后的突然来电等;在力学中,机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用.29在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t
9、).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)不连续,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.30如果我们形式地计算这个导数,得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为此,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷，点源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.广义函数，没有普通意义下的函数值.312.1单位脉冲函数的定义定义对于任何一个无穷次可微的
10、函数f(t),称满足2.2单位脉冲函数的性质(1)积分性质证明：32一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示.tOd(t)1(2)筛选性质对于无穷次可微的函数f(t)，有一般地33这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用.例1求单位脉冲函数的傅氏变换.解：可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对；同理,d(t-t0)和亦构成了一个傅氏变换对.34需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即实际上这个条件
11、非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如35如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制.为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有：u(t)（单位阶跃函数）,sint,cost.同样可以说,象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.36例2称为单位跃阶函数.证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察逆变换的方法证明.37由于所以
