最新三角函数公式-及-推导(祥尽版)课件ppt.ppt

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1、三角函数公式-及-推导(祥尽版)1-----诱导公式（之二）：公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六之一：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/

2、2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα公式六之二sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin

3、→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三

4、象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．口诀总结公式七：额外的定义（也是重要的呀）两角和的余弦两角和的正弦两角差的正弦两角和的正切两角差的正切由两角差的余弦得4---二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（也称为：升幂缩角公式）正弦的二倍角公式：表示一：sin2α＝2sinαcosα证明：因为sin(+)=sincos+cossin，令==，所以，可得：sin2=2sincos表示二：（以正切表示二倍角）sin2=2tan1+tn2證明：sin2=2s

5、incos=2(sin/cos).cos2=2tan/(sec2)=2tan/(1+tan2)余弦二倍角公式：表示一：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2证明：因为由和角公式：cos(+)=coscossinsin，令==所以，可得：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2表示二：cos2=1-tan21+tan2證明：cos2=2cos21=(2/sec2)1=2/(1+tan2)1=(1-tan2)/(1

6、+tan2)2tanαtan2α＝—————     1－tan2α证明：因为由和角公式：tan(+)=(tan+tan)/(1-tanα.tan)，令==，所以，可得：2tanαtan2α＝—————     1－tan2α正切的二倍角公式結論：利用tan可以將sin2，cos2，tan2表示出來，整理如下：(a)sin2=2tan/(1+tan2)(b)cos2=(1-tan2)/(1+tan2)(c)tan2=2tan/(1-tan2)用三角形直观表示如下：（图）6---半角公

7、式半角的正弦、余弦和正切公式（也称：降幂扩角公式）或也可表示为：1－cosαsin^2(α/2)＝—————         2          1＋cosαcos^2(α/2)＝—————          2          1－cosαtan^2(α/2)＝—————         1＋cosα7---万能公式万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除c

8、os^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。8---三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3=