最新[新版]妇科宫腔镜诊治标准_基础医学_医药卫生_专业资料-药学医学精品资料.ppt

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3、我们讨论的无穷集合都是可数集合，并且知道了在数轴上稠密的有理数集合也可以与自然数集合建立1-1对应关系，那么是不是所有的无穷集合都是可数集合呢？定理1.3.6全体实数做成的集合是不可数集合。证明：由定理1.3.2知,只要证明（０，１）区间内的实数不可数就可以了。若不然，我们可以把（０，１）区间内的数排成一个序列：０.a11a12a13…０.a21a22a23…(2)０.a31a32a33…┆我们考虑下面的数：０.r1r2…rk…(３)其中１，当akk≠１rk=２，当akk＝１，k＝１，２，…显然，（３）是（０，１）区间内的数,但它却不是序列(２)中的任一个

4、数。事实上,对(２)中任一个数０.ak1ak2…akk…，因为rk≠akk,故０.ak1ak2…akk…≠０.r1r2…rk…与假设矛盾。故（０，１）区间内的实数不可数，所以实数集不可数。上述定理的证明方法，就是著名的“康托尔对角线法”，该方法在可计算理论中有广泛的应用。推论实数集合R,区间(a,+)、[a,b]、[a,b)、（a,b]，a≠b都是不可数的，且与区间(0,1)等浓。我们仅看构造区间[0，1]与（0，1）之间1-1映射的例子。我们知道全体有理数的集合是可数的，于是（0，1）区间中的有理数是可数的，不妨将它们排成形式为（1）的序列。而闭区间[

5、0，1]比区间（0，1）多两个数0，1，它们是有理数，于是可建立闭区间[0，1]中的有理数到区间（0，1）中的有理数的1-1映射σ1如下图。0,1,a1,a2,…,an,……a1,a2,a3,a4,…,an+2，…令区间[0，1]中的无理数到区间（0，1）中的无理数的1-1映射σ2为自己应成自己。则映射σ=σ1∪σ2为区间[0，1]到区间（0，1）的1-1映射。从而区间[0，1]与（0，1）等浓。我们设实数集合的基数为c。定理1.3.7设A1，A2，…，An,…是互不相交的集合序列，它们的基数都是c，则的基数也是c。即可数个基数为c的集合的并集基数仍为c。

6、证明：设In=[n-1,n),则当m≠n时，Im∩In=。因为In(n=1,2,…)的基数是c，故存在1-1映射σ1，σ2，…，使得σn(In)=An。令σ=，则σ是=[0，+）到的1-1映射。从而与[0，+）等浓，由推论知其基数为c。实际上还有更进一步的结果：可数个基数为c的集合的直积基数仍为c。从而R2，Rn的基数都是c。定理1.3.8集合Ａ的元素不能与Ａ的所有子集建立１－１映射。证明：假设σ为A到A的所有子集作元素的集合上的1—1映射。令Ｂ＝x

7、xA并且xσ(x)于是，存在唯一一个元素bA,使得σ(b)＝Ｂ若bＢ，则由Ｂ的定义知，b

8、σ(b),即bB,矛盾。若bＢ,即bσ(b），于是由Ｂ的定义知，bB，矛盾。因此，在Ａ与Ａ的所有子集作元素的集合之间，不能建立１－１映射。有了这个结论，我们就可以构造基数任意大的集合。如

9、R

10、

11、2R

12、

13、

14、…。我们知道集合基数的关系是一个全序关系，把大于等于0的基数分别记为0，1，2，3，…，满足0123…。假设1=c，著名的“连续统问题”是：即能否找到一实数集的子集，它是不可数集合，但又不能与实数集合建立一一对应。现在已经证明了：证明连续统假设成立是不可能的；证明它不成立也是不可能的。因此，所谓“连续统问题”在

15、现在的数学理论框架之中是不能判定的。第二章命题逻辑数理逻辑是用数学