最新65最小费用最大流问题教学讲义ppt.ppt

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1、65最小费用最大流问题一、基本概念1、什么是最小费用最大流问题？对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中，求取最大流X，使输送流量的总费用C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj）上通过单位流量所花费的费用。2、最小费用流对一费用容量网络，具有相同流量f的可行流中，总费用最小的可行流称为该费用容量网络关于流量f的最小费用流，简称流量为f的最小费用流。二、求解最小费

2、用最大流问题的对偶法1、求解途径：（1）始终保持网络中的可行流是最小费用流，然后不断调整，使流量逐步增大，最终成为最小费用的最大流；（2）始终保持可行流是最大流，通过不断调整使费用逐步减小，最终成为最大流量的最小费用流。2、算法原理（1）定理若X是流量为f(X)的最小费用流，μ是关于X的所有增广链中费用最小的增广链，那么沿着μ去调整X得到的新的可行流就是流量为f()的最小费用流。（2）实现思路基于第一种求解途径，根据上述定理，只要找到最小费用增广链，在该链上调整流量，得到增加流量后的最小费用流。循环往复直至

3、求出最小费用最大流。对偶法原理和步骤求最大流Ford算法找从vs到vt的最短增广链调整流量得费用最小的可行流将0流作为初始可行流Yes绘制扩展费用网络No流量等于最大流?得最小费用最大流确保流量最大确保费用最小实施中的关键构造增广费用网络图（即扩展费用网络图），借助最短路算法寻找最小费用增广链。为什么?理由:正向饱和弧不标记,反向零流弧不标记。—不构造增广费用网络,就无法调整流量(1)饱和弧,流量无法减小;(2)非饱和弧,流量只能增加,不能减小;增广链流量调整：正向弧增加流量，反向弧减少流量。零流弧上Wij

4、=cij原有弧（流量可以增加）∞后加弧（流量不能再减少）饱和弧上wij=∞原有弧（流量不能再增加）-cij后加弧（流量可以减少）非饱和且非零流(0

5、j增广费用网络非饱和弧上，原有弧以单位费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位费用的负数作权数：ViVj原网络ViVj增广费用网络饱和弧上,去掉原有弧,添上后加弧(虚线弧),权数为单位费用的负数：ViVj原网络ViVj(bij,-cij)增广费用网络于是，在容量网络中寻找最小费用增广链就相当于在增广费用网络图（扩展费用网络图）中寻找从发点到收点的最短路。注意将找到的最短路还原到原网络图中（虚线弧改成原图中的反向弧）。3、步骤：第一步---用Ford-Fukerson算法求出该容量网络的最大流量fmax；（本步骤的

6、作用是什么？）第二步---取初始可行流为零流，其必为流量为0的最小费用流（为什么？）第三步---一般为第k-1次迭代，得一最小费用流X(k-1)，对当前可行流构造增广费用网络图W(X(k-1))，用最短路算法求出从发点到收点的最短路。若不存在最短路，则X(k-1)即最小费用最大流，停止迭代；否则，转下一步。第四步---将最短路还原成原网络图中的最小费用增广链μ，在μ上对可行流X(k-1)进行调整，得到新的可行流图，若其流量等于fmax,迭代结束。否则转入第一步，进入下一次迭代过程。4、举例增广费用网络图(容

7、量费用图(bij,cij))可行流图(流量网络(bij,cij,xij))vsvtv2v3v1(10,7)(7,7)(8,4)(10,4)(4,4)(5,0)(2,0)最大流图fmax=11(未标费用)第0次迭代vsvtv2v3v1(10,4)(7,1)(8,1)(10,3)(4,2)(5,2)(2,6)(5,2,5)(7,1,5)vsvtv2v3v1(10,4,0)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,0)第1次迭代①原图全部是零流弧,保持原边不变,单位费用为权；②所有的权均大于零，可用D

8、氏标号法求出最短路：恰也是最小费用增广链。①流量调整量ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5总流量f1=5②最小费用增广链的费用∑cij=1+2+1=4③总费用C1=4×5=20第2次迭代(3,1)v1vt(5,-2)(2,6)v2v3(10,4)(5,-1)(10,3)(4,2)（2,1）vs（5，-1）(7,1,7)vsvtv2v3v1(10,4,2)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,