初一数学奥赛基础知识讲义[1].doc

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1、个人收集整理勿做商业用途七年级奥赛数学基础知识讲义第二讲和绝对值有关的问题一、绝对值的意义：（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作

2、ａ

3、。(2）代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。也可以写成：说明：（Ⅰ)

4、a

5、≥0即

6、a

7、是一个非负数；（Ⅱ)

8、ａ

9、概念中蕴含分类讨论思想。二、典型例题例1．(数形结合思想)已知ａ、b、c在数轴上位置如图:则代数式

10、a

11、＋

12、a+b｜+｜c－a　｜－

13、b-ｃ

14、的值等于（)　A.-3a　Ｂ.２ｃ－ａC．2a-２b　　D．　b解：｜　a　｜+　

15、ａ+ｂ｜+

16、c-a　

17、-

18、　ｂ-c　

19、=

20、-a－(a+b)＋(ｃ-a）+b-ｃ=-3a分析:解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、ｂ、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例２．已知:,，且,那么的值(　　　)Ａ.是正数　　　B．是负数　　C.是零　　Ｄ.不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、ｙ、z三个

21、数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。个人收集整理勿做商业用途例3.(分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的３倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析：从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为ｘ,乙数为y　　由题意得:,（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若x在原点左侧，y在原点右侧,即x<0，ｙ>０，

22、则　4ｙ＝8，所以ｙ=2　,x＝-6若x在原点右侧，y在原点左侧,即x>0，y<０,则-4y=８　，所以y＝-2,x=６（２)数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧,即　ｘ<0,y<０，则-２y=8　,所以ｙ＝-4,ｘ=-12若ｘ、y在原点右侧，即x>0,y>0，则　2y=8　，所以y=4,x=1２例４.(整体的思想）方程的解的个数是()A.１个Ｂ.2个　C．３个　D．无穷多个分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-200８看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。　例

23、5.（非负性）已知

24、aｂ-2

25、与

26、ａ-1｜互为相互数,试求下式的值.分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:

27、ａｂ-2

28、=

29、ａ-1

30、=0,解得:ａ=1,b＝2于是　在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考,　如果题目变成求　　　　　　　　　　　　　值，你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。例６.（距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离　４与,3与5，与,与3.并回答下列各题:(１)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答：＿＿__　　.（２）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―１,则A与B两点间的距

31、离个人收集整理勿做商业用途可以表示为　　　.分析:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢?因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢?　结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x<-1时,距离为-ｘ-1,　　　当－1

32、,x在数轴上的位置有三种可能:图1　　　图2　　　　　　　图3图2符合题意(4）　满足的的取值范围为　　　分析:　同理表示数轴上x与-１之间的距离,表示数轴上x与-４之间的距离。本题即求，当ｘ是什么数时ｘ与-1之间的距离加上x与-４之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案:x<-4或x>-１。说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值