08研究生计算方法试卷

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1、08研究生计算方法试卷一、选择题（共24分，每题4分）：多选题，请将各题中所有的正确结果都选出，若无则画“×”1．设，且，则（）A．与x的相对误差互为倒数；B．与x的相对误差的绝对值相等；C．与x绝对值的相对误差的相等；C．与x的相对误差的绝对值互为倒数2．设为互异的插值节点，，i=0,1,…,n是Lagrange插值基函数，则下列各式一定成立的有：（）A．B．C．D．3．用梯形法数值求解微分方程初值问题，x>0,a>0,取h为步长（）A．B．C．D．4．设，则使得x变换为与向量平行的向量的初等

2、反射阵H所对应的Householder向量w为（）A．B．C．D．5．求解线性方程组Ax=b的迭代法中（）A．Jacobi法的迭代矩阵B的特征值均非零；B．Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵G至少有一个特征值为0；C．SOR法的迭代矩阵在松弛因子ω＝1时特征值均非零；D．如A为严格主对角占优，则当Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也收敛。6．设矩阵的特征值满足。k为整数，,则（）A．B．C．D．二、填空题（共24分，每题4分）1．为了使计算函数的乘除法次数尽量少，应将f(x)

3、的表达式改为2．设方程组为写出收敛的迭代格式3．在区间[a,b]上构造二次多项式，使得＝______________________________4．设，在该区间上最佳一次平方逼近多项式为，均方误差为5．设数值求积公式。则该公式具有次代数精确度6．设矩阵，则其LU分解为L＝U＝三、综合题1．（10分）已知函数f(x)在三点的函数值f(-1)=f(1)=2,f(0)=0。求f(x)的三次样条函数插值S(x)，并满足第二类齐次边界条件S’’(-1)=S’’(1)=0。2．（14分）根据“割圆法”的

4、思想，当圆的外切正n边形的边数时，其周长与圆的直径之比趋于圆周率。运用Richardson外推法，在边数取有限值时，可求得高精度的值。设圆的直径为1，则圆的外切正n边形的周长,由Taylor展式1）证明：；2)记步长，A(h)=L(n),验证用逼近的误差阶数均为；3)推导与的表达式；并验证用B(h)，C(h)逼近的误差阶数分别为和4）试用L(3)，L(6)，L(12)之值（可用计算器算得），通过B(h),C(h)外推的近似值。所得结果有几位有效数字？3．（14分）设n阶矩阵A可对角化。1）如果A

5、的特征值满足。问：能否用幂法有效地计算及其对应的特征向量？给出证明，并给出计算和的表达式。2）又如A的特征值满足，实数m满足对矩阵B=A+mI作幂法迭代，问：此时能否用幂法有效地计算，迭代中所产生的向量能否收敛于特征向量？为什么？4．（14分）设数值计算初值问题的Euler中点格式为其中为已知初值，为时间步长，。记若,则称对应的数值格式为保体积格式。记。1）取，用Euler中点格式计算；2）对一般的f(x,y)和g(x,y)试证：（A）（B）（C）如果则Euler中点格式为原初值问题的保体积格式

6、。