2021届高三数学二轮复习压轴题专练20—向量(1).doc

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1、小题压轴题专练20—向量(1)一、单选题1.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆(前轮),圆(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为  A.18B.24C.36D.48解:据题意:圆(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.点为后轮上的一点,如图建立平面直角坐标系:则,,.圆的方程为,可设,所以,.故.故选:.2.已知,,是平面向量,是单位向量,若向量满

2、足,则,,则的最小值是  A.B.C.D.解:因为是单位向量,由得,即,所以.以为原点,将的起点都设为,的方向作为轴的正方向,如图建立坐标系:设,结合,的终点落在以为圆心,半径为1的圆上.因为,结合对称性,不妨设的终点落在射线上,其中.结合直线与圆的位置关系可知,过做射线,垂足为,且与圆交于点(如图所示),此时的长度最小.结合,故为等腰直角三角形,由,可知,因为,所以的最小值为.故选:.3.已知的外接圆圆心为,,若,则的最大值为  A.B.C.D.解:如图,延长交于,设,又,易得,即有,,则,由,,

3、三点共线,可得,即有,由于是定值,只需最小,过作,垂足为,则,即有,,,则.则.即有的最大值为.故选:.4.已知点是所在平面内一点,有下列四个等式:甲:;乙:;丙:;丁:.如果只有一个等式不成立,则该等式为  A.甲B.乙C.丙D.丁解:对于甲:,设是的中点,则,所以,故点是的靠近的三等分点,即该三角形的重心;对于乙:,移项整理得,即,故,所以是直角三角形;对于丙:,则为的外心;对于丁:.则,所以,同理可得,,所以为的垂心,如果只有一个等式不成立,则该等式为乙.故选:.5.已知直角三角形中,,,,点

4、在以为圆心且与边相切的圆上,则的最大值为  A.B.C.D.解:根据题意,直角三角形中,,设为斜边上的高,又由,,则,连接,则圆的半径,则,当与同向时,取得最大值,此时,,则的最大值为,故的最大值为,故选:.6.已知,,,点是四边形内(含边界)的一点,若,则的最大值与最小值之差为  A.12B.9C.D.解:如图,过点作交,于点,,设,所以,,因为点在四边形内部,且,,所以,,因为,,三点共线,所以,所以,且,,,所以,,,所以,所以当时,;当时,,所以的最大值与最小值之差为.故选:.7.已知,是平

5、面向量,满足,,且,记与的夹角为,则的最小值是  A.B.C.D.解:根据题意,设,则,,,则有,变形可得,设,其导数,在区间,上,,则在区间,上递减,则时,取得最小值,故选:.8.在中,角,,所对的边分别为,,,且点满足,若,则的最大值为  A.B.C.D.解:由题意可得:,①,②则,①②可得,因为,可得,两边平方,可得:,所以:,可得,可得,即,因为,(由得出),当且仅当时等号成立,所以,令,则,且,解得,当且仅当时等号成立,即的最大值为.故选:.一、多选题9.如图所示,在凸四边形中,对边,的延

6、长线交于点,对边,的延长线交于点,若,,,则  A.B.C.的最大值为1D.解:对于,因为,所以,整理得,故正确;对于,过点作,交于点,则,,所以,因为,,,所以,,,所以,所以,故正确;对于,由知,,当且仅当时等号成立,所以的最小值为4,故错误;对于,因为,,所以,,所以,当且仅当时取等号,故正确.故选:.10.在平行四边形中,,且,则平行四边形的面积可能为  A.17B.18C.19D.20解:因为,,又在平行四边形中,,所以,故平行四边形为矩形,又,所以是上靠近点的四等分点,是上靠近的三等分点

7、,所以,因为平行四边形为矩形,则,设,则,由基本不等式可得,当且仅当,即时取等号,所以,故平行四边形的面积,所以平行四边形的面积可能为17或18.故选:.11.如图,直角的斜边长为2,,且点,分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动,点在线段的右上方.则  A.有最大值也有最小值B.有最大值无最小值C.有最小值无最大值D.无最大值也无最小值解:,,,,.设,则,且,,,,,,,故,因为,所以当,即时,取到最大值,无最小值;故选项错误;,当,即时,取到最大值,无最小值.故选项正确;,,所以,因为,所以当,即时,

8、取到最大值,无最小值;因为,所以,故没有最大值,也没有最小值.故选项正确;故选:.12.中,,,,,以下正确的是  A.B.C.D.解:在直线,,上分别取点,,,使得,以,为邻边作平行四边形,则,,即,,,,三点共线且,故和均为等边三角形,,故正确,正确;,,,,,在外部分别以、为边作等边三角形和等边三角形,则,,三点共线,,,三点共线,,故,,,即,故正确,同理可得:,,即,故正确.故选:.一、填空题13.已知向量及实数满足,若,则的最大值是  .解:因为,所以,两

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