备战2021高考数学高三二轮难点02 导数与不等式相结合问题 教学案【解析版】.docx

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1、难点二导数与不等式相结合问题导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用

2、初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.1利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例1.（2021·全国高三月考（文））已知函数.（1）判断的单调性；（2）若方程有唯一实根，求证：.【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）证明见解析.【详解】（1）因为，所以，则，所以，函数在上是增函数，且，所以，当时，；当时，.所以在上是减函数，在上是增函数；（2）设，则，因为是增函数，又，，所以存在唯一的，使得.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，

3、函数单调递增.所以，.方程有唯一实根，则，且，即，消去得，设，则，所以，函数在上是减函数，因为，，所以，即.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.1.2通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最

4、大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.例2.（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）由切线方程可得，.定义域为，.所以，，解得，.（2）等价于.设，则.设，则函数在单调递增，因为，，所以存在唯一，使.因为符号与符号相同，所以当时，，当时，.故在单调递减，在单调递增.所以当时，取得最小值，由得，从而，故.所以.点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想

5、和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键.1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.例3．已知函数.（1)已知函数f(x)在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的

6、单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0

7、知,得对于任意的，可化为其中,其中,即，由(2)知,函数在递减,且,于是上式成立，故对于任意的，成立.点评：在第二问中要注意分类讨论标准的确定，当时，可借助一次函数的图像来判断导函数符号，同时要将零点和定义域比较；第二问中将不等式等价变形为，要利用换元法，将不等式转化为关于的不等式．2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理

8、．：例4．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数.（1）若有唯一零点，求的取值范围;（2）若恒成立，求的取值范围.【详解】（1）由有