比较教学法在实变函数课程教学改革中应用

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1、比较教学法在实变函数课程教学改革中应用　　【摘要】结合实变函数与数学分析的教学实践，利用比较教学法，将数学分析作为实变函数的参照物，形象地解读实变函数理论，加深了学生对实变函数的理解，培养学生的分析及理解问题的能力。【关键词】实变函数；数学分析；比较教学法；教学改革8自从20世纪初，Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，实变函数在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程与积分方程论中，都产生了极大影响，它还有助于现代概率

2、理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。然而，实变函数课程的内容非常抽象且理论性和逻辑性较强，其中的许多重要概念都是用严密的数学语言描述，导致了学生们感觉该门课程高深莫测，“实变”学“十遍”才能懂，是“天书”等，它一直是被国内外大学认为是数学教学与学习中的重点和难点课程。如何将该课程化抽象为具体，化难为易并理解和掌握其构造性的思路是实变函数教学的最高目标。我们欲从实变函数课

3、程与数学分析课程的密切关系出发，帮助学生借助于已熟知的Riemann积分体系理论，来学习Lebesgue积分理论及其特点。1.实变函数课程与比较教学法简介实变函数课程的中心任务是：建立n维欧几里得空间中点集的测度理论和Lebesgue积分理论。通过学习这门课程，学生应掌握近代抽象分析的基本思想、思维方式，以及系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，且学生应具有新角度思维能力、独立思考能力、推理能力和逻辑判断能力，为进一步学习现代数学理论打下夯实基础。8在实变函数教学中，要选择恰当的教

4、学方法，促进学生完成对该课程由表及里的层进认知并理清脉络。若只偏重知识的灌输却忽略对学生构造性思维的启发和引导，就不能为学生提供一个发现、比较、分析和辨别的思维空间，会导致学生的认知模糊，徒增学习该门课程的难度。鉴于实变函数与数学分析课程的密切关系，启发任课教师通过比较法来讲解该课程。比较，就是运用对照的手段确定事物异同关系的思维过程的方法。比较教学法有利于引导学生透过现象认识实质，比如通过新知与旧知的对比来促进知识迁移，通过实变函数与数学分析内容的比较，由知识的熟悉性来增加学生的学习信心，并启发学

5、生对新知识的思考等。比较教学法也是组织学生学习理论知识与实际操作、培养逻辑思维能力的重要手段之一，它有利于激发学生探究新知识的兴趣，并可使学生在面对新知识学习时，有效地摆脱陌生感，迅速找到轻松入门的途径，增加学习主动性，优化学习效果，提高学习效率。具体地，我们从以下几方面来阐述利用比较教学法对传统的实变函数课程教学进行改革。2.实变函数与数学分析课程的关系实变函数是大学数学专业的最为重要的基础课之一，作为数学分析的后续课程，它是数学分析课程的延续和发展。再者，学好实变函数课程对于数学分析知识的深入理

6、解有着非常重要的作用，数学分析作为数学专业最为重要的基础课，同时也是数学专业考研、考博的必考课程，可见其地位之重。实变函数课程是其拔高课程，因此要以扎实的数学分析知识为基础，采用比较的教学方式更容易为学生所接受，这种教学方法的实施事实上也是对数学分析知识的回顾和更深层次的解释。一般来说，实变函数课程开设于大学三年级上学期，采用联系数学分析知识进行教学，也更容易让学生在思想上重视（因为数学分析是考研的必考课程），学习积极性更高。由于实变函数课程的极抽象性和难学难教的现状，我们认为一种高效的教学方法，一

7、定要首先能激发学生的学习兴趣，让学生充分发挥主体作用。只有这样，理论上高效的教学方法方能达到真正的高效。82.1比较教学法的引入我们注意到实变函数课程是数学分析课程的后续课程，如果能充分利用二者之间的关联性，采用比较教学法，让学生由熟知的数学分析理论知识自然过渡到较为抽象难学的实变函数知识是一种行之有效的教学方法。针对实变函数的“难教难学”，抓住它的本质—基于传统分析理论的积分体系与空间理论。从问题的根部出发，以我们熟知的传统分析理论去比对实函中Lebesgue积分理论和泛函空间理论，比较它们理论思

8、想上的异同，找到传统分析理论拓广到实分析与泛函分析的原始思路，以便由易到难、由具体到抽象地进行学习，充分发挥比较教学法在实变函数教学中的优势，注重调动学生的学习积极性和热情。2.2对课程整体脉络的把握及分析8在讲解该课程之初就要让学生明白以下三点：（1）这门课程的重要性；（2）这门课程的主要内容和学习目标；（3）怎样联系数学分析的知识学好这门课程？借助于这三点，让学生认识到Riemann积分理论的局限性，比如狄利克雷函数不可积，如何让它“可积”？进而，如何扩大可积函数