复变函数的习的题目全问题解释第3章习的题目全详解情况.doc

《复变函数的习的题目全问题解释第3章习的题目全详解情况.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、实用标准文案第三章习题详解1．沿下列路线计算积分。1)自原点至的直线段；解：连接自原点至的直线段的参数方程为：2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至；解：连接自原点沿实轴至的参数方程为：连接自铅直向上至的参数方程为：3)自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为：连接自沿水平方向向右至的参数方程为：2．分别沿与算出积分的值。解：精彩文档实用标准文案而1．设在单连通域处处解析，为任何一条正向简单闭曲线。问，是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解：不成立。例如：，，2．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式

2、说明，其中为正向单位圆周。解：3．计算积分的值，其中为正向圆周：1)；解：在上，2)解：在上，4．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。1)精彩文档实用标准文案解：在解析，根据柯西—古萨定理，1)解：在解析，根据柯西—古萨定理，2)解：在解析，根据柯西—古萨定理，3)解：在解析，在，4)解：在解析，根据柯西—古萨定理，5)解：在解析，在，1．沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)，：解：在，在解析，根据柯西积分公式：2)，：精彩文档实用标准文案解：在，在解析，根据柯西积分公式：1)，：解：在，在解析，根据柯西积分

3、公式：2)，：解：不在，在解析，根据柯西—古萨定理：3)，：解：在解析，根据柯西—古萨定理：4)，：为包围的闭曲线解：在解析，根据柯西—古萨定理：5)，：解：在，在解析，根据柯西积分公式：6)，：解：在，在解析，根据柯西积分公式：7)，：解：在，在解析，根据高阶导数公式：精彩文档实用标准文案1)，：解：在，在解析，根据高阶导数公式：1．计算下列各题：1)解：2)；解：3)；解：4)；解：5)；解：6)（沿到的直线段）。解：2．计算下列积分：1)，（其中：为正向）；解：精彩文档实用标准文案1)，（其中：为正向）；解：2)，（其中：为正向，：为负

4、向）；解：在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：3)，：（其中为以，为顶点的正向菱形）；解：在所给区域，有一孤立奇点，由柯西积分公式：4)，（其中为的任何复数，：为正向）。解：当，在所给区域解析，根据柯西—古萨基本定理：当，在所给区域解析，根据高阶导数公式：1．证明：当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。证明：当所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：；当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：；2．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？1)2)精彩文档实用标准文案解：1）；2）由此可见，1）

5、和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为在复平面上处处不解析。1．设区域为右半平面，为圆周上的任意一点，用在的任意一条曲线连接原点与，证明。[提示：可取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为。证明：因为在解析，故积分与路径无关，取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为，则：2．设和为相交于、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与解析，在、上也解析，证明：。证明：如图所示，在与解析，在、上也解析，由柯西—古萨基本定理有：精彩文档实用标准文案1．设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复

6、数，试就与跟的不同位置，计算积分的值。解：分四种情况讨论：1）如果与都在的外部，则在解析，柯西—古萨基本定理有2）如果与都在的部，由柯西积分公式有3）如果在的部，都在的外部，则在解析，由柯西积分公式有4）如果在的外部，都在的部，则在解析，由柯西积分公式有2．设与为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明证明：因为与为两条互不包含，也不相交，故与只有相离的位置关系，如图所所示。1）当在时，在解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：精彩文档实用标准文案1）当在时，在解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：2．设函数在解析，且沿任何

7、圆周：，的积分等于零，问是否必需在处解析？试举例说明之。解：不一定。例如：在处不解析，但。3．设与在区域处处解析，为的任何一条简单闭曲线，它的部全含于。如果在上所有的点处成立，试证在所有的点处也成立。证明：设是任意一点，因为与在及解析，由柯西积分公式有：，又在上所有的点处成立，故有：即在所有的点处成立。4．设区域是圆环域，在解析，以圆环的中心为中心作正向圆周与，包含，为，之间任一点，试证仍成立，但要换成。证明：5．设在单连通域处处解析，且不为零，为任何一条简单闭曲线。问积分是否等于零？为什么？解：因为在单连通域处处解析且不为零，又解析函数的导

8、数仍然是解析函数，故精彩文档实用标准文案在处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有1．试说明柯西—古萨基本定理中的为什么可以不是简单闭曲线？解：如不是简单闭曲线，将分为