2016北京农业职业学院数学自主招生试题测试版(附答案解析).docx

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1、优选限时：40分钟　满分：52分1．(满分13分)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭

2、圆E的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝，由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝，即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0.同理可得[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0.从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是8/8优选①且k1k2＝＝.由

3、得5x－8x0－36＝0，解得x0＝－2，或x0＝.由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它们均满足①式．故点P的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或，或.2．(满分13分)如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，b

4、t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t12＋t22为定值．解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝(x－a)．②8/8优选由①×②得y2＝(x2－a2)．③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，得＋＝1.从而y＝b2，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．(2)证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4

5、x1

6、

7、y1

8、＝4

9、x2

10、

11、y2

12、

13、，故xy＝xy.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x＝b2x.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.从而y＋y＝b2，因此t＋t＝a2＋b2为定值．3．(满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；8/8优选(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB

14、的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝＝＝，得a＝b，椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，设P(x，y)为C上任意一点，则

15、PQ

16、＝＝，－b≤y≤b，若b<1，则－b>－1，当y＝－b时，

17、PQ

18、max＝＝3，又因为b>0，得b＝1(舍去)；若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，

19、PQ

20、max＝＝3，得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)法一：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝

21、OA

22、·

23、OB

24、sin∠AOB＝s

25、in∠AOB≤，8/8优选当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，则＝，得m2＋n2＝2，又因为＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，即存在点M的坐标为，或，或，或满足题意，且△AOB的最大面积为.法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，则Δ＝

26、8m2(3－m2)≥0，所以②而S△AOB＝

27、OA

28、·

29、OB

30、sin∠AOB＝sin∠AOB，8/8优选当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又因为y1y2＝·＝，所以x1x2＋＝0，即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，所以m＝±，n＝±＝±，所以M点的坐标为，或，或，或，使得S△AOB取得最大值.4．(满分13分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上