第十五讲-matlab普通方程与微分方程.ppt

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1、第十五讲普通方程和微分方程一、线性方程组的求解我们将线性方程的求解分为两类：(1)一类是方程组求唯一解或求特解，(2)另一类是方程组求无穷解即通解。可以通过系数矩阵的秩来判断：(1)若系数矩阵的秩r=n（n为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；(2)若系数矩阵的秩r

2、X=b,解法：X=Ab例求方程组的解A=[5600015600015600015600015];B=[10001]';R_A=rank(A)%求秩X=AB%求解3或用函数rref求解：C=[A,B]%由系数矩阵和常数列构成增广矩阵CR=rref(C)%将C化成最简行R=1.000000002.266201.0000000-1.7218001.0000001.05710001.00000-0.594000001.00000.3188则R的最后一列元素就是所求之解。4求方程组解：A=[11-3-1;3-

3、1-34;15-9-8];B=[140]';X=ABX=[00-0.53330.6000]’%由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差。（一个特解近似值）。的一个特解。5若用rref求解，则比较精确：A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];B=[140]';C=[A,B];%构成增广矩阵R=rref(C)R=1.00000-1.50000.75001.250001.0000-1.5000-1.7500-0.250000000由此得解向量X=[1.2500–0.250000]’（一个特解）。62

4、．利用矩阵的LU和QR分解求方程组的解（1）LU分解：LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。则：A*X=b变成L*U*X=b所以X=U(Lb)这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu(A)7的一个特解求方程组解:A=[42-1;3-12;1130];B=[2108]';D=det(A)[L,U]=lu(A)X=U(LB)8显示结果如下：D=0L=0.3636-0.50001.00000

5、.27271.000001.000000U=11.00003.000000-1.81822.0000000.00009Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-017.X=1.0e+016*-0.40531.48621.3511说明结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。可以通过A*X验证其正确性。10这两种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节

6、省内存。（2）QR分解对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程A*X=b变形成QRX=b所以X=R(Qb)上例中[Q,R]=qr(A)X=R(QB)11B.求线性齐次方程组的通解在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A*X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）格式z=null%z的列向量为方程组的正交规范基，满足%z的列向量是方程AX=0的有理基12求解方程组的通解：解：A=[1221;21-2-2;1-

7、1-4-3];formatrat%指定有理式格式输出B=null(A,'r')%求解空间的有理基运行后显示结果如下：B=25/3-2-4/3100113写出通解：symsk1k2X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)%写出方程组的通解运行后结果如下：X=[2*k1+5/3*k2][-2*k1-4/3*k2][k1][k2]14C.求非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。因此，步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步第二步：求AX=b的一个

8、特解第三步：求AX=0的通解第四步：AX=b的通解=AX=0的通解+AX=b的一个特解。15求解方程组解：在Matlab中建立M文件如下A=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';B=[Ab];n=4;%n为矩阵列数或未知数个数R_A=rank(A)R_B=rank(B)formatratifR_A==R_B&R_A==n%判断有唯一解X=AbelseifR_A==R_B&R_A