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时间:2021-03-27
《高数同济§1.10闭区间上连续函数的性质.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值函数f(x)在区间I上有定义如果有x0I使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:函数f(x)=1+sinx在区间[02p]上,有最大值2和最小值0下页1函数y=sgnx在区间(-+)内,下页最大值与最小值举例:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值函数f(x)在区间I上有定义如果有x0I使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I
2、上的最大值(最小值)2例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,并非任何函数都有最大值和最小值应注意的问题:3说明:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值下页又至少有一点x2[ab]使f(x2)是f(x)在[ab]上的最小值至少有一点x1[ab]使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么闭区间[a,b]上的连续函数f(x)也记作4应注意的问题:1.如果函数仅在开区间内连续2.或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区
3、间上就不一定有最大值或最小值下页定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值5定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明设f(x)C[ab]由定理1M和m使x[ab]满足mf(x)M故f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界首页定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值6二、零点定理与介值定理注:1.如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点2.下页定理3(零点定
4、理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0几何解释7例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4x2+1则f(x)C[01]并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根据零点定理在(01)内至少x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x下页二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号
5、那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=08定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C下页二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0几何解释:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点9返回根据零点定理在开区间(ab)内至少有一点x使得定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间
6、[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C因此f(x)=Cj(x)=0即f(x)-C=0因为f(a)≠f(b),设j(x)=f(x)-C则j(x)在闭区间[ab]上连续证明所以j(a)=f(a)-C与j(b)=f(b)-C异号10二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之
7、间的任何值定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C结束11★例2证由零点定理,12★例2.设f(x)在[a,b]上连续,且恒为正,证明:必使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证13思考题下述命题是否正确?思考题解答不正确.例函数14
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