线代习题课讲义.ppt

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1、线性代数1目录第一部分行列式第二部分矩阵第三部分向量第四部分线性方程组第五部分特征值、特征向量第六部分实对称矩阵和二次型第七部分向量空间第八部分历年考题分析2第一部分行列式3一行列式的定义的行列式定义为矩阵4567二行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。82.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零93.行列式按行、列展开：104.行列式乘法定理：115.分块矩阵的行列式：12容易出现的错误131415三行

2、列式的计算1.分类：按阶数大小分----低阶、高阶；按元素分----数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。3.注:很少直接用定义计算；应先化简，后计算；对高阶行列式来说，对角线法则不成立。。16171819202122其中，每个均不为零。23其中，每个均不为零。242526第二部分矩阵27一矩阵的代数运算1.运算规律2829302.应当注意的问题问题：313233问题：什么时候成立？3435二.可逆矩阵矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆

3、）；(4)A的特征值均不为零（非奇异）。362.逆矩阵的计算利用伴随矩阵。利用初等变换。373.重要性质，如383940414伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；4243445矩阵方程各种类型的矩阵方程，应先将其化简成标准形式,然后再求解。尽量进行验算！4546三分块矩阵47注：48几种常用的分块法：49505152535455565758四矩阵的秩5960616263642．矩阵的等价标准形6566673.矩阵的运算与秩68697071724.初等变换与初等矩阵73747576向量第三部分77一.概念线性组合和线性表示；线性相关和线性无关；

4、极大无关组和秩二.命题781.线性组合和线性表示7980812.线性相关和线性无关8283843.极大无关组和秩85重要结论868788二.命题注意逆否命题的表达形式8990（2）重要命题91三.判别方法922.线性相关性939495969798简化阶梯形矩阵99以给定向量组为列向量作一矩阵A用初等行变换将A化成阶梯形矩阵B找出B中的非零首元A中与这些非零首元相对应的列就是所求向量组的极大无关组向量组极大无关组的求法:100第四部分线性方程组101一.解的存在性、唯一性102二.解的结构齐次线性方程组103齐次线性方程组的解的结构104齐

5、次线性方程组的基础解系105重要结论1061072.非齐次线性方程解的结构108109110四.求解111112113114115五平面、直线的相对位置116解：两直线不平行：B的秩为3，故前两行不成比例。117其次，两直线在同一平面内：118119120第五部分特征值特征向量121122123124125126127128129130131132133二.两个矩阵相似的必要条件134135136137三.可相似对角化问题138注2：139推论：没有重特征值的矩阵一定相似于对角阵。140141142143144实对称矩阵一定相似于对角阵.

6、没有重特征值的矩阵一定相似于对角阵.145146147148149150第六部分实对称矩阵和二次型151152153154155156157158159160161三.二次型的矩阵162163164165166167168169170171已知实矩阵172173对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?合同的矩阵是否相似?174五.正定性175176177178179180181六.二次型与二次曲面182183184185第七部分向量空间186187188189190191192193194195196197198199200201202三.

7、基变换和坐标变换203204205206207四.向量空间的标准正交基208209210历年考题分析第八部分2112003年考研题（数学一,填空题,4分）本题得分率：45.4%。2122003年考研题（数学一,选择题1,4分）本题得分率：61.9%。2132003年考研题（数学一，选择题２，４分）本题得分率：80.2%。2142003年考研题（数学一，１０分）本题得分率：36.7%。2152003年考研题（数学一，８分）本题得分率：25.8%。2162004年考研题（数学一，填空题，４分）2172004年考研题（数学一，选择题１，４分）2

8、182004年考研题（数学一，选择题２，４分）2192004年考研题（数学一，９分）本题得分率：36%。2202004年考研题（数学一，９分）本题得分率：29%。2212005年考研题（数学一