大变形问题的有限元分析

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1、第三章大变形问题的有限元分析目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元方法。特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。内容：引言大变形问题的应变描述大变形分析中的应力描述及本构关系大变形问题有限元方程的建立大变形分析中的载荷处理小结6/14/20211引言几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题，大挠度理论分析结果更符合实际情

2、况；薄壳的屈曲，非线性理论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。几何线性问题：位移与应变成线性（微分）关系；研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。6/14/20212大变形问题的应变描述(1/4)问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。初始构型（0时刻）(a)(b)(c)现时构型（t时刻）当前构型（时刻）连续介

3、质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。大变形问题的分析方法：增量法。6/14/20213大变形问题的应变描述(2/4)描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示为现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构型所定义的应变，数学表示为注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。6/14/2

4、0214大变形问题的应变描述(3/4)应变增量：Green应变增量：现时（Updated）Green应变增量：线性部分非线性部分线性部分非线性部分二者之间满足张量变换关系！6/14/20215大变形问题的应变描述(4/4)应变增量：（续）－对于大变形小应变情形Green应变增量退化成：现时（Updated）Green应变增量退化成：线性部分非线性部分是高阶小量线性部分非线性部分是高阶小量对于小变形情形6/14/20216大变形问题的应力描述(1/2)应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意微元体所在的构型。Euler应力：与应变类似，连续介质

5、力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。Kirchhoff应力：通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用表示；通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff应力，用表示。6/14/20217大变形问题的应力描述(2/2)Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）

6、间的关系：根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系现时Kirchhoff应力Euler应力现时Kirchhoff应力增量时刻t时刻特点：以现时构型为参考。6/14/20218大变形分析中的本构关系(1/5)本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描述材料的本构关系。弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。本构关系有三种形式，为常数线弹性材料(elasticity)超弹性材料(hyperelasticity)次弹性材料(hypoelasticity)（大变形分析中）6/14/20219大变形分析中的本构关系(2/5)弹性材料若Kirchhof

7、f应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这类材料为弹性材料不依赖于构型变化弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。特殊情形6/14/202110大变形分析中的本构关系(3/5)超弹性材料假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构关系，这类材料称为超弹性材料。(不限于这种形式）总之，对于一般的大变形问题，在连续介质力学中常用超弹性来表征材料的本构关系。例如一阶近似初始构型时材料的密度－常数增量形式…坐标变换现时Kirchhoff应力或增量形式…Case-1Case-2不能简化！一阶近似现时构型时材料的密度－随变形变化。相比较6/

8、14/202111大变形分析中的本构关系(4/5)次弹性材料若应力