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时间:2018-01-05
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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习答案与解析数学试卷(理工类)2016.3一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案:D解析:分母实数化,即分子与分母同乘以分母的其轭复数:。2.答案:D解析:∵函数y=ln(x-1)的定义域M=,N=,又U=R∴,∴,故A,C错误,D显然正确。3.答案:A解析:由,知,又是增函数,所以,,由知,但取负值时,无意义,故选A。4.答案:B解析:依次执行结果如下:S=2×1+1=3,i=1+1=2,i<4;S=2×3+2=8,i=2+1=3,i<4;S
2、=2×8+1=19,i=3+1=42,i≥4;所以,S=19,选B。5.答案:C解析:由余弦定理,知,所以所以,可化为:,所以,,所以,B=。6.答案:D解析:读图可知A、B、C均正确,对于D,前6个月的平均收入=45万元.7.答案:A解析:三棱锥如下图所示:CD=1,BC=2,CD⊥BC,且三棱锥A-BCD的高为1底面积SBCD==1,所以,V=8.答案:C解析:只需求圆心(0,1)到曲线上的点的最短距离,取曲线上的点,,距离所以,若圆与曲线无公共点,则0<r<.二、填空题:本大题共6小题,每
3、小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.答案:10解析:二项式的展开式的每一项为:令10-3r=4得r=2,∴x4的系数为=10.10.答案:,解析:11.答案:解析:将C2方程代入C1方程得,解得t=1 ∴x=1,y=1故极坐标为12.答案:解析:如图所示,直线y=a(x+1)过点A(-1,0)且该直线过图中B点时为临界条件,并且当其斜率小于AB斜率时均与区域D有公共点.B点坐标由x-y=0和2x+y-9=0联立得B(3,3).故a的取值范围为13.答案:解析:如图所示,点M在△ABC内
4、部(不含边界)过D点作平行于AC的直线,并交BC于F点,则,此时,u,M点与F点重合,为另一临界条件.综上,n的取值范围为14.答案: 22解析:设第三个学生为则不同能力特征项数总和恰为22,所以最小值为22.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数,.(Ⅰ)若,求的单调递增区间;(Ⅱ)若,求的最小正周期的表达式并指出的最大值.解析:解:(Ⅰ)当时,.令.解得.所以的单调递增区间是.……………………7分(Ⅱ)由.因为,
5、所以.则,.解得.又因为函数的最小正周期,且,所以当时,的最大值为.………………………………………13分16.(本小题满分13分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.人数本数性别12345男生14322女生01331(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变量的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数
6、的方差的大小(只需写出结论).解析:解:(Ⅰ)设事件:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4.由题意可知,.………………………………………4分(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为.由题意可得;;;;.所以随机变量的分布列为随机变量的均值.…………10分(Ⅲ).…………………………………………………………………………13分17.(本小题满分14分)AMPCBA1C1B1如图,在直角梯形中,,,.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得
7、到,且使得平面平面.为线段的中点,为线段上的动点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)当点是线段中点时,求二面角的余弦值;(Ⅲ)是否存在点,使得直线//平面?请说明理由.解析:解:(Ⅰ)由已知,且平面平面,所以,即.又因为且,所以平面.由已知,所以平面.因为平面,yxAMPCBA1C1B1z所以.…………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知,所以,.因为为线段的中点,为线段的中点,所以.易知平面的一个法向量.设平面的
8、一个法向量为,由得取,得.由图可知,二面角的大小为锐角,所以.所以二面角的余弦值为.………………………………9分(Ⅲ)存在点,使得直线//平面.设,且,,则,所以.所以.设平面的一个法向量为,由得取,得(显然不符合题意).又,若//平面,则.所以.所以.所以在线段上存在点,且时,使得直线//平面.…………14分18.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,都有成立,求的取值范围;(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与曲线相切?并说明理由.解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为..(1)
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