2016 朝阳高三一模 数学 理 解析

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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习答案与解析数学试卷（理工类）2016．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案：D解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：。2．答案：D解析：∵函数y＝ln(x－1)的定义域M＝，N＝，又U＝R∴，∴，故A，C错误，D显然正确。3．答案：A解析：由，知，又是增函数，所以，，由知，但取负值时，无意义，故选A。4．答案：B解析：依次执行结果如下：S＝2×1＋1＝3，i＝1＋1＝2，i＜4；S＝2×3＋2＝8，i＝2＋1＝3，i＜4；S

2、＝2×8＋1＝19，i＝3＋1＝42，i≥4；所以，S＝19，选B。5．答案：C解析：由余弦定理，知，所以所以，可化为：，所以，，所以，B＝。6．答案：D解析：读图可知A、B、C均正确，对于D，前6个月的平均收入＝45万元．7．答案：A解析：三棱锥如下图所示：CD＝1，BC＝2，CD⊥BC，且三棱锥A－BCD的高为1底面积SBCD＝＝1，所以，V＝8．答案：C解析：只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，距离所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r＜．二、填空题：本大题共6小题，每

3、小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．答案：10解析：二项式的展开式的每一项为：令10－3r＝4得r＝2，∴x4的系数为＝10．10．答案：,解析：11．答案：解析：将C2方程代入C1方程得，解得t＝1　　∴x＝1，y＝1故极坐标为12．答案：解析：如图所示，直线y＝a（x＋1）过点A（－1，0）且该直线过图中B点时为临界条件，并且当其斜率小于AB斜率时均与区域D有公共点．B点坐标由x－y＝0和2x＋y－9＝0联立得B（3，3）．故a的取值范围为13．答案：解析：如图所示，点M在△ABC内

4、部（不含边界）过D点作平行于AC的直线，并交BC于F点，则，此时，u，M点与F点重合，为另一临界条件．综上，n的取值范围为14．答案：　　　　22解析：设第三个学生为则不同能力特征项数总和恰为22，所以最小值为22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．解析：解：（Ⅰ）当时，．令．解得．所以的单调递增区间是.……………………7分（Ⅱ）由．因为，

5、所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为．………………………………………13分16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．人数本数性别12345男生14322女生01331（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数

6、的方差的大小（只需写出结论）．解析：解：（Ⅰ）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．………………………………………4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故的取值为．由题意可得；；；；．所以随机变量的分布列为随机变量的均值．…………10分（Ⅲ）．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）AMPCBA1C1B1如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得

7、到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；（Ⅲ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．解析：解：（Ⅰ）由已知，且平面平面，所以，即．又因为且，所以平面．由已知，所以平面．因为平面，yxAMPCBA1C1B1z所以．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直．分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知，所以，．因为为线段的中点，为线段的中点，所以．易知平面的一个法向量．设平面的

8、一个法向量为，由得取，得．由图可知，二面角的大小为锐角，所以．所以二面角的余弦值为．………………………………9分（Ⅲ）存在点，使得直线//平面．设，且，，则，所以．所以．设平面的一个法向量为，由得取，得（显然不符合题意）．又，若//平面，则．所以．所以．所以在线段上存在点，且时，使得直线//平面．…………14分18．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．解析：解：（Ⅰ）函数的定义域为．．（1）