福建省福建师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题理202012240240.doc

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1、福建省福建师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题理第I卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合，集合，求（）A．B．C．D．2．设，，，则（）A．B．C．D．3．平面向量与的夹角为．,,则等于（）A．B．C．4D．124．在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为C．侧面四个三角形

2、中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形117．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（）A．B．为函数的对称轴C．向左移后的函数为偶函数D．函数的单调递减区间为8．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为（）9．已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则（）10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（）A．B．C．D．11．已知，，且都是锐角，则（）A．B．C．D．1

3、2．已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）11二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知复数满足，则等于______．14．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______．15．已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为________．16．已知函数，，则函数的最小值为_____．三、解答题（本题共6道小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求的最小

4、正周期：（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值．18．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．19．（本小题满分12分）已知在多面体中，，，，，且平面平面．（I）设点为线段的中点，试证明平面；第19题图（II）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．1120．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求实数的值；（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其

5、中AB＝50米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？22．（本小题满分12分）已知函数，且．（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且．答案：1．B2．D3．B4．A5．A6．D7．C118．A

6、9．D10．A11．A12．D【解析】分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解，由可得结果.详解：由，可知函数的对称轴为，由于函数是偶函数，,所以函数是周期为的周期函数，当时，，函数在上递增，在上递减，最大值，且，由选项可知，解得或，根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，根据函数偶函数，在上有个周期，且有个整数解，11也即每个周期内有个解，，故，解得，故选D.13．14．15．或16．17．（Ⅰ）因为，故最小正周期为（Ⅱ）因为，所以．于是，当，

7、即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．18．(1)由已知＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，11可得sin∠ABD＝，又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝，在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝．(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD为等腰三角形，

8、即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理，得CD，所以．19．1120．（1）因为，即：，所以（2）由题意可知，，函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，设，则，∴在