2013年湖南卷数学试题及答案(理).doc

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1、2013·湖南卷(理科数学)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．B　[解析]由题z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2．D　[解析]根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法．3．在锐角△ABC中，

2、角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.B.C.D.3．D　[解析]由正弦定理可得2sinAsinB＝sinB，又sinB≠0，所以可得sinA＝，又A为锐角，故A＝，选D.4．若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是(　　)A．－B．0C.D.4．C　[解析]根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，可知在点C处x＋2y取最大值为.5．，函数f(x)＝2lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为(　　)A．3B．2C．1D．05．B　[解析]法一：作出函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选

3、B.法二：也可以采用数值法：x124f(x)＝2lnx02ln2＝ln4>1ln42<5g(x)＝x2－4x＋5215可知它们有2个交点，选B.6．已知，是单位向量，＝0，若向量满足

4、－－

5、＝1，则

6、

7、的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．1，＋26．A　[解析]由题可知·＝0，则⊥，又

8、

9、＝

10、

11、＝1，且

12、－－

13、＝1，不妨令＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又

14、

15、＝，故根据几何关系可知

16、

17、max＝＋1＝1＋，

18、

19、min＝－1＝－1，故选A.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视

20、图的面积不可能等于(　　)A．1B.C.D.7．C　[解析]由题可知，该正方体的俯视图恰好是正方形，则正视图最大值应是正方体的对角面，最小值为正方形，故面积范围为[1，]，因∉[1，]，故选C.8．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)图1－1A．2B．1C.D.8．D　[解析]不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△A

21、BC的重心为G，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为＝，将G代入可得3m2－4m＝0，即m＝或m＝0(舍)，选D.9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．9．3　[解析]将参数方程化为普通方程可得，直线l：即y＝x－a，椭圆C：即＋＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a＝3.10．已知a，b，c∈，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．10．12　[解析]因a＋2b＋3c＝

22、6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥＝12，即最小值为12.图1－311．如图1－2所示，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P.PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．11.　[解析]由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半径r＝，记圆心O到直线CD的距离为d，则d2＋＝7，即d2＝，故d＝.12．若x2dx＝9，则常数T的值为________．12．3　[解析]由积分运算公式可得x2dx＝0＝T3＝9，解得T＝3.13．执行如图1－3所示的程序框图，

23、如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．图1－313．9　[解析]根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2，①a＝3，②a＝5，③a＝7，④a＝9，满足条件输出a＝9.14．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若

24、PF1

25、＋

26、PF2

27、＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．14.　[解析]若最小角为∠F1PF2，由对称性设

28、PF