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《2013年湖南卷数学试题及答案(理).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2013·湖南卷(理科数学) 1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.B [解析]由题z=i·(1+i)=i+i2=-1+i,在复平面上对应的点坐标为(-1,1),即位于第二象限,选B.2.某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法2.D [解析]根据抽样方法的特点可知,应选用分层抽样法.3.在锐角△ABC中,
2、角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则角A等于( )A.B.C.D.3.D [解析]由正弦定理可得2sinAsinB=sinB,又sinB≠0,所以可得sinA=,又A为锐角,故A=,选D.4.若变量x,y满足结束条件则x+2y的最大值是( )A.-B.0C.D.4.C [解析]根据题意,画出x,y满足的可行域,如图,可知在点C处x+2y取最大值为.5.,函数f(x)=2lnx的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为( )A.3B.2C.1D.05.B [解析]法一:作出函数f(x)=2lnx,g(x)=x2-4x+5的图像如图:可知,其交点个数为2,选
3、B.法二:也可以采用数值法:x124f(x)=2lnx02ln2=ln4>1ln42<5g(x)=x2-4x+5215可知它们有2个交点,选B.6.已知,是单位向量,=0,若向量满足
4、--
5、=1,则
6、
7、的取值范围是( )A.[-1,+1]B.[-1,+2]C.[1,+1]D.1,+26.A [解析]由题可知·=0,则⊥,又
8、
9、=
10、
11、=1,且
12、--
13、=1,不妨令=(x,y),=(1,0),=(0,1),则(x-1)2+(y-1)2=1,又
14、
15、=,故根据几何关系可知
16、
17、max=+1=1+,
18、
19、min=-1=-1,故选A.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视
20、图的面积不可能等于( )A.1B.C.D.7.C [解析]由题可知,该正方体的俯视图恰好是正方形,则正视图最大值应是正方体的对角面,最小值为正方形,故面积范围为[1,],因∉[1,],故选C.8.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图1-1所示),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )图1-1A.2B.1C.D.8.D [解析]不妨设AP=m(0≤m≤4),建立坐标系,设AB为x轴,AC为y轴,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知△A
21、BC的重心为G,根据反射性质,可知P关于y轴的对称点P1(-m,0)在直线QR上,P关于x+y=4的对称点P2(4,4-m)在直线RQ上,则QR的方程为=,将G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍),选D.9.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________.9.3 [解析]将参数方程化为普通方程可得,直线l:即y=x-a,椭圆C:即+=1,可知其右顶点为(3,0),代入直线方程可得a=3.10.已知a,b,c∈,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.10.12 [解析]因a+2b+3c=
22、6,由柯西不等式可知(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2,可知a2+4b2+9c2≥=12,即最小值为12.图1-311.如图1-2所示,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P.PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.11. [解析]由相交弦定理可知PA·PB=PC·PD,得PC=4,故弦CD=5,又半径r=,记圆心O到直线CD的距离为d,则d2+=7,即d2=,故d=.12.若x2dx=9,则常数T的值为________.12.3 [解析]由积分运算公式可得x2dx=0=T3=9,解得T=3.13.执行如图1-3所示的程序框图,
23、如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为________.图1-313.9 [解析]根据程序框图所给流程依次可得,a=1,b=2,①a=3,②a=5,③a=7,④a=9,满足条件输出a=9.14.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若
24、PF1
25、+
26、PF2
27、=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________.14. [解析]若最小角为∠F1PF2,由对称性设
28、PF
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