极限点集及轨线分类朱道书.doc

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1、极限点集及轨线分类（朱道书）G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类,必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。极限点集　设：实数列。如果有，则称点y是轨线φ(x，t)的ω-极限点，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－极限点集。若，则称y是φ(x,t)的α－极限点，Ax表示φ(x,t)的一切α－极限点集。不变集　设给定集合A吇R，若对一切t∈I,φ(A,t)=A，则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。极小集　集合∑吇R称为极小集,若它是非空、闭的且不变;同

2、时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外，在上所定义的拓扑动力系统,若对轨线φ(x,t)而言,，则φ(x,I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R时，情形就不同了。例如，式中θ，φ的周期都为1。这样就在二维环面T上定义了动力系统。当у是有理数时，T上都是周期轨线；而у是无理数时,T上的每条轨线在其上处处稠密，T构成紧致极小集。又如，前例中,当у是无理数时，令，，式中(θ，φ)

3、是对θ，φ周期都为1的连续周期函数。对；当,。直观地说，这就是将前例中的一条过点p且在T上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T不再是极小集，而奇点p是极小集。伯克霍夫证明，若R是紧致度量空间,则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。当R是紧致的二维定向流形,在其上定义了C光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密,则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线,则Ωx=T=R。但当Rt只是C光滑时,A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常微分方程定性理论）。