ch3动态规划算法设计

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1、算法设计与分析中原工学院计算机学院王璐E-Mail：dqx_wl@163.com2008年10月8日第三章动态规划本章主要知识点：3.1矩阵连乘问题3.2动态规划算法的基本要素3.3最长公共子序列问题3.4最大子段和3.5凸多边形的最优三角剖分3.6多边形游戏3.7图像压缩3.8电路布线3.9流水作业调度3.100-1背包问题3.11最优二叉搜索树3.12动态规划加速原理>2引言规划(Planning)规划是比较全面的长远的发展计划----现代汉语词典动态规划(DynamicPlanning)通过多阶段决策逐步找出问题的最终解，并且每个阶段的决策都是需要全面考虑各种不同的情况分别进行决

2、策。这样，当各阶段采取决策后，会不断决策出新的数据，直到找到最优解。每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义。所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划。动态规划主要针对最优化问题3引言动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题(或者多个阶段)。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，需要时查找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算。nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=nT(n

3、)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2n/2T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n)4动态规划基本步骤找出最优解的性质，并刻划其结构特征。递归地定义最优值。以自底向上的方式计算出最优值。根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。53.1矩阵连乘问题给定n个矩阵{A1,A2,...,An}，

4、其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,...,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A1A2...An。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。若A是p*q矩阵，B是q*r矩阵，则C=A*B是p*r矩阵,计算量为p*q*r。设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别是：A=50×10，B=10×40，C=40×30，D=30×5总共有五种完全加括号的方式：(A((BC)D))(A(B(CD)))((A

5、B)(CD))(((AB)C)D)((A(BC))D)其数乘次数分别为：16000,10500,36000,87500,34500可见，矩阵连乘积的计算次序与其计算量有密切关系。6问题描述给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入：n，矩阵的行列数p0,p1,…,pn输出：最少的数乘次数，计算次序（记录最优断开位置）7穷举搜索法穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。算法复杂度分析：对于

6、n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：也就是说，P(n)是随n的增长成指数增长的。8动态规划法——1.分析最优解的结构下面我们考虑用DP求解。预处理：将矩阵连乘积AiAi+1...Aj简记为A[i:j]，这里i≤j。考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k

7、加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。分析最优解的结构特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。92.建立递归关系设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。当i=j时，A[i:j]