增补练习四（答案）.doc

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1、增补练习四（答案）1设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.（II）是否存在实数，使且，若存在，求的值，若不存在，说明理由.1解（I）设由且，又以AB为直径的圆过原点.既（II）2（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．　　（1）求双曲线C的离心率e的值；　　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．2.准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．　　∴　两交点

2、坐标为　，、，．　　∵　△PFQ为等边三角形，则有（如图）．　　∴　，即．　　解得　，c＝2a．∴　．　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．　　把代入得．　　依题意　　∴　，且．　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为　　　　　　∵　．．　　整理得　．∴　或．　　∴　双曲线C的方程为：或．3已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。（1）求点的坐标；（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动，写出

3、点到线段的距离关于的函数关系式。3（1）设，，（2）设第7页（共8页）第8页（共8页）由得，，（3）设线段上任意一点当时，即时，当时，；当时，即时，当时，；当时，即时，当时，。4一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．4（Ⅰ）设的坐标为，则且．解得，因此，点的坐标为．（Ⅱ），根据椭圆定义，得，，

4、．∴所求椭圆方程为．（Ⅲ），椭圆的准线方程为．设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．则，．，令，则，当，，，．∴在时取得最小值．因此，最小值＝，此时点的坐标为．注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．5已知椭圆E：，点P是椭圆上一点。（1）求的最值。（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。5（1）由得，则则所以的最大值为25，最小值为16。（2）如图，由及椭圆方程得A（5，

5、0）。同理C（0，4），设为椭圆上任一点，又AC方程为，即。所以B到AC的距离为第7页（共8页）第8页（共8页）同理得D到直线AC的距离所以四边形ABCD最大面积。6已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.(1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.6（1）∵成等比数列　∴　设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得即为所求的椭圆方程.（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴因此可设的方程

6、为：由　①方程①有两个不等的实数根∴　②设两个交点、的坐标分别为　∴∵线段恰被直线平分　∴∵　∴③　把③代入②得∵　∴　∴解得或∴直线的倾斜角范围为7已知向量.（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数的取值范围。7由题意得：（II）由得,由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即①（1）当时，设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标，则又②.将②代入①得，解得,由②得,故所求的取值范围是（2）当时，8设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原

7、点.第7页（共8页）第8页（共8页）（I）证明：；（II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.8依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故将，得①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得，即（II）解：设由①，得因为，代入上式，得于是，△OAB的面积其中，上式取等号的条件是由将这两组值分别代入①，均可解出所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是9如图，已知⊙：及点A，在⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线A′交于点P，若点A′取遍⊙上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线与曲线交于、

8、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.9(1)　∵l是线段A的中垂线，∴,∴

9、

10、PA

11、－

12、P

13、

14、=

15、

16、P

17、－

18、P

19、

20、=

21、

22、=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为.(2)设,,则直线的方程为,则由,得,.由,得.∴,,.由,,,消去,得.∵,函数在上单调递增.∴,，所以或.故斜率的取值范围为第7页（共8页）第8页（共8页）