邓超群-三角函数综合复习.doc

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1、任意角的三角函数邓超群（一）主要知识：1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与角终边相同的角为；2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式、扇形面积公式；3．任意角的三角函数．（二）主要方法：1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．（三）例题分析：例1．若，且，则（）例2．（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？（2）如果是第二象限的角，判断的符号．解：（1）∵，∴，当时，，是第

2、一象限的角，当时，，是第二象限的角，当时，，是第三象限的角．∴是第一，二，三象限的角．（2）是第二象限的角，，，，，∴．例3．已知锐角终边上的一点坐标是，则（）例4．扇形的中心角为，半径为，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？解：设圆及与圆的半径分别为，则，得，∴，∵，∴，令，，当，即时，圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为．（四）巩固练习：1．设，如果且，则的取值范围是（）2．已知的终边经过点，且，则的取值范围是．3．若，则（）同角三角函数的基本关系与诱导

3、公式（一）主要知识：1．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：；（2）商数关系：；（3）平方关系：．2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．（二）主要方法：1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；2．学会利用方程的思想解三角题，对于三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．（三）例题分析：例1．化简分析：切割化弦是解本题的出发点．解：原式．例2．化简（1）；（2）已知，求的值．解：（1）原式．（2），∴

4、，∵，∴，，∴．例3．（1）若，求值①；②．（2）求值．解：（1）①原式．②∵，∴原式．（2）∵．又∵．∴原式．例4．已知是方程的两个根，，求角．解：∵，代入，得，又，∴，，∴，又∵，∴．（四）巩固练习：1．若，（）2．已知，则．三角函数的求值（一）主要知识：三角函数求值问题一般有三种基本类型：1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3．给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．（二）主要方法：1．寻求角与角之间

5、的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知，（），则（）或略解：由得或（舍），∴，∴．例2．已知，是第三象限角，求的值．解：∵是第三象限角，∴（），∵，∴是第四象限角，∴，∴原式．例3．已知，求的值．解：由题意，，∴原式．例4．已知，求的值．解：∵，，∴，得，若，则，若，无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，，等，解题过程中应充分利用这种变形．例

6、5．已知关于的方程的两根为，求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．①②解：（1）由根与系数的关系，得，∴原式．（2）由①平方得：，，即，故．（3）当，解得，∴或，∵，∴或．（四）巩固练习：1．若，则（）2．（）24816三角函数的最值（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②，引入辅助角，化为求解方法同类型①；③，设，化为二次函数在上的最值求之；④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；

7、⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．（三）例题分析：例1．求函数的最大值和最小值．解：．当，，当，．例2．求函数的最大、最小值．解：原函数可化为：，令，则，∴．∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，．例3．求下列各式的最值：（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，求函数的最小值．解：（1），当且仅当时等号成立．故．

8、（2）设，则原函数可化为，在上为减函数，∴当时，．说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．例4．求函数的最小值．解：原式可化为，引入辅助角，，得，∴，由，得或．又∵，∴，且，故．∴，故．例5．《高考计划》考点32，智能训练10：已知，则的最大值是．解：∵，∴，故当时，．（四）巩固练习：1．已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是（）2．若方程有解，则．三角函