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时间:2021-03-04
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1、数学学习中的学法指导【内容综述】 本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍,第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理;第二,要加强对数学概念的学习理解,在一些利用概念分析,可能减少计算一的试题中,应尽量减少计长算量,提高解题效率;第三,提供了一个面对较难试题的思维策略:反客为主,欲擒故纵……第四,其它【要点讲解】 §1.武器精,巧解题 若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的,尤其是高考现今强调创新,出活题考能力;而高中数竞一试又往高考靠,并且数竞从来就是在出活题考能力(当然它要求的知识面更广,基础更坚深),二者关
2、系极为密切,这一节,我们介绍两个课外的有用公式实理,供大家参考。 1.等差数列中, ① 证明 例1.设等差数列满足且Sn为其前n项之和,求Sn中最大者。(1995高中全国数竞赛题)分析:若等差数列中,满足 则Sn最大。或当Sn=Sm时,取最大值 解: 由题设:得 故由等差数列前n项和是二次函数,可见是最大和 说明本题若用常规解法,就需由题设,求得再去解 求得n=20.计算量较大。 例2.等差数列,的前n项和分别为Sn与Tn,若 (1995年全国高考试
3、题) 分析本题若按解答题做,推理、论证计算相当繁杂,但若利用公式①就非常简单 解 ∴ 例3.设等差数列的前n项和为Sn,已知,求公差d的取值范围. 解: 即 又∵ 故 2.三面角余弦公式 在如图三面角O—ABC中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1,∠BOC=Q2,二面角A—OC—B 大小为,则有公式 ,② 称为三面角余弦公式或三射线定理。当时,就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上,作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB,分别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用
4、Q、Q1、Q2及OC的关系表出,最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。 例4.已知二面角M—AB—N是直二面角,P是棱上一点,PX、PY分别在平面M、N内,且。求大小?(1964,北京赛题) 解:利用三面角余弦公式 得 ∴ 例5.已知四面体S—ABC中,,,设以SC为棱的二面角为,求与、β关系。 解:由三面角余弦公式及题设,得 , ,故有 解之,得 例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L,相邻两侧面的夹角为β,求证: (1981上海竞赛题)
5、证:设PO是棱锥的高,O是底面ABCD的对角线交点 作OE⊥AD, 则PE⊥AD, 从而∠PEO是侧面与底面所成角; 作BF⊥PC,连DF,易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β. 设侧棱长为a,底面边长为b。则侧高为,则由三面角余弦公式有 = = = 又由三面角P—BCD知 ∴ 例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦是
6、_____________。(1996年全国高考试题) 解∵AD,BF所成角,即BC与BF所成角,由三面角余弦公式,有 说明:由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中,显然课外的公式,担供了极其简捷的解法,若不用这二公式,尽管问题也能解决,但要繁杂得多 这里我们才给了两个课外的有用公式,在本教程的其它章节,更介绍了许多有用的方法和公式定理,也希望同学们在今后的解题实践中,不断总结,发现更多更好的解题方法,策略和武器,为不好数学,争取得更大成绩而努力,§2大概念小计算 要学好数学,一定要重视概念的学习 例8.已知集合 的值。(1987
7、.全国赛题改编) 分析:根据集合元素的互异性,由N知X,Y皆不为0,又由M=N,故知可见,从而xy=1,进而x、y可求 解:由题设知x、y≠且xy=1,∵且M=N,∴解方程组 得x=y=-1,舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+…-2=-2. 说明:这时重在概念分析,计算量较小。 也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002 或;进而去求x、y的值,舍去4002-解,得出-2的正确结论。 例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,求的值 (2000年全国高考) 分析:
8、本题若按解答题作,需对一
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