几个重要的不等式.doc

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1、竞赛培训专题7---几个重要不等式(一)一、平均值不等式设a1,a2,…,an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号1.二维平均值不等式的变形(1)对实数a,b有a2+b2³2ab　　　　　　　　　(2)对正实数a,b有(3)对b>0，有，　　(4)对ab2>0有，(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　(6)对a>0,有(7)对a>0,有　　　　　　　　　(8)对实数a，b有a2³2ab-b2(9)对实数a，b及l¹0，有二、例题选讲例1.证明柯西不等式证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取代入(9)得有两边平方得法二、，

2、即二次式不等式恒成立则判别式例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：(1)(2)证明：(1)左=[]=³(2)由知同理：相加得：左³例3.求证：证明：法一、取，有a1(a1-b)³b(a1-b),a2(a2-b)³b(a2-b),…,an(an-b)³b(an-b)相加得(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)b³b[(a1+a2+…+an)-nb]³0所以法二、由柯西不等式得：(a1+a2+…+an)2=((a1×1+a2×1+…+an×1)2£(a12+a22+…+an2)(12+12+…+12)=(a12+a22+…+an2)n,所

3、以原不等式成立例4.已知a1,a2,…,an是正实数，且a1+a2+…+an<1，证明：证明：设1-(a1+a2+…+an)=an+1>0,则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)1-a1=a2+a3+…+an+1³n1-a2=a1+a3+…+an+1³n…………………………………………1-an+1=a1+a1+…+an³n相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1例5.对于正整数n，求证：证明：法一、>法二、左==例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：(1)(2)证明：(1)相乘左边³=(n2+1)n

4、证明(2)左边=-n+2(=-n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](³-n+2×n