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1、成都理工大学计算机科学与技术学院计算机图形学实验报告（四）学院：信息科学与技术学院专业：数值媒体与技术系小组名：数媒一班一组2012/12/24说明：该实验由于时间关系，我们组参考了别人的程序模版加以修改。一、实验目的与实验要求：1、目的与任务：学习并掌握图形处理的数学模型和算法。提高C++编程的能力，加深对类库，成员函数、变量，继承、派生等概念的理解。2、实验基本要求：（1）用鼠标点击方式生成曲线与曲面控制点，控制点可任意生成、修改等。（2）完成Bezier、B样条、NURBS曲线的生成（3）完成Bezier
2、、B样条、Coons曲面生成二、绘图基本算法1.Bezier曲线生成思想针对Bezier曲线，给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线段的参数方程表示如下：这是一个n次多项式，具有n+1项。其中pi（xi,yi,zi）,i=0,1,2….n是控制多边形的n+1个顶点，即构成该曲线的特征多边形；Bi,n（t）是Bernstein基函数，有如下形式：恰好是二项式的展开式！Pi是空间的很多点（向量，有x、y、z三个分量），t在0到1之间，把t=0代进去可以算出一个数（x、y、z三
3、个值，因为p是向量，有三个分量）--即空间一个点，随着t值的变化，点也在变化。当t从0变到1时，就得到空间的一个图形，这个图形就是bezier曲线。Bernstein基函数是一个多项式，基函数的性质决定了曲线的性质。绘制Bezier曲线主要有以下步骤：①首先给出的递归计算式：②将表示成分量坐标形式：根据以上的公式可以直接写出绘制Bezier曲线的程序。根据Bezier曲线的定义确定的参数方程绘制Bezier曲线,因其计算量过大,不太适合在工程上使用。但使用德卡斯特里奥（deCasteljau）提出的递推算法则要
4、简单得多。设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
5、两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合。由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式：这便是著名的deCasteljau算法。用这一递推
6、公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即为曲线P(t)上具有参数t的点。deCasteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。2.Bezier曲面生成思想设为个空间点列，则m×n次Bezier曲面定义为：（式2-1）其中，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是：（式2-2）在一般实际应用中，
7、n、m不大于4。(1)双线性Bezier曲面当m=n=1时u，w∈[0,1]（式2-3）定义一张双线性Bezier曲面。已知四个角点之后，则(式2-4)(2)双二次Bezier曲面当m=n=2时（式2-5）由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。(3)双三次Bezier曲面当m=n=3时(式2-6)(式2-7)其矩阵表示为（式2-8）Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法，可以推广到Bezier曲面的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点：和一对参数值（u,v），则：式（2-
8、9）一条曲线可以表示成两条低一次曲线的组合，一张曲面可以表示成低一次的四张曲面的线性组合。其中：式（2-10）或：式（2-11）上面给出了确定曲面上一点的两种方案。当按(1)式方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线deCasteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点构成的中间多边形。再以v参数值对它执行曲线的deCasteljau算法，n级递推以后，
