北京市东城区（南片）2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷.doc

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1、北京市东城区（南片）2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知点A（1，2），B（3，1），则直线AB的斜率为A.－2B.C.D.22.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是3.如果等差数列中，，那么＝A.14B.21C.28D.354.经过点（－1，0），且与直线垂直的直线方程是A.B.C.D.5.，下列不等式中一定成立的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.

2、设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A.若，则B.若∥∥，则C.若∥，则D.若∥，则7.已知数列满足，则等于A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A，B两点，则弦AB的长等于A.B.C.D.19.已知变量满足约束条件，则的最小值为A.－6B.－5C.1D.310.已知点E，F分别是正方体的棱AB，的中点，点M，N分别是线段与上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.两条平行直线和间的距离是_____________。12

3、.不等式的解集为_____________。13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于_____________。14.在空间直角坐标系中，已知点，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_____________。15.已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正切值等于_____________。16.设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为。记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是_____________。三、解答题：本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.

4、（本题满分9分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，且。（Ⅰ）求c边长；（Ⅱ）求的值。18.（本题满分9分）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且。（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：AC⊥BE；（Ⅲ）三棱锥的体积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由（棱锥的体积）。19.（本题满分9分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：

5、cm)，能使矩形广告面积最小?20.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。（Ⅰ）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在唯一一点M，使，求圆C的方程。21.（本题满分9分）如果有穷数列（m为正整数）满足条件，即，我们称其为“对称数列”。例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。（Ⅰ）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且。依次写出的每一项；（Ⅱ）设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列。

6、求各项的和S；（Ⅲ）设是100项的“对称数列”，其中是首项为2，公差为3的等差数列。求前n项的和。【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1.B2.C3.C4.A5.D6.D7.A8.B9.B10.B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.212.13.614.15.16.三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本题满分9分）解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，得，解得或。5分（Ⅱ）在△ABC中，，由正弦定理得。9分18.（本题满分9分）（Ⅰ）证明：在正方

7、体中，因为∥BD，所以EF∥BD，因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD。3分（Ⅱ）证明：在正方体中，因为⊥平面ABCD，所以，又因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，，所以AC⊥平面。而平面。所以AC⊥BE。6分（Ⅲ）三棱锥的体积是定值。设交于点O，由（Ⅱ）可知，AO⊥平面BEF，且。。9分19.（本题满分9分）解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则。①广告的高为，宽为，其中。广告的面积当且仅当时等号成立，此时，代入①式得，从而。即当时，S取得最小值24500。故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告

8、的面积最小。9分20.（本题满分10分）解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：。显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即。由，得。解得或者。所以所求圆C的切线方程为：或。5分（Ⅱ）因为圆C的