第二章 二次函数与命题数学竞赛讲义.doc

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1、第二章二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关

2、系如下（记△=b2-4ac）。1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1

3、xx2}和{x

4、x1

5、x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a<0时，请读者自己分析。4．二次

6、函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m,n]时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0n时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命

7、题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条

8、件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、方法与例题1．待定系数法。例1设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).2．方程的思想。例2已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。3．利用二次函数的性质。例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(

9、f(x))=x也无实根。4．利用二次函数表达式解题。例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1,x2满足01，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。6．定义在区间上的二次函数的最值。例6当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。例7设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值

10、是，求b的值。7.一元二次不等式问题的解法。例8已知不等式组①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。8．充分性与必要性。例9设定数A，B，C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0①对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）9．常用结论。定理1若a,b∈R,

11、a

12、-

13、b

14、≤

15、a+b

16、≤

17、a

18、+

19、b

20、.【证明】因为-

21、a

22、≤a≤

23、a

24、,-

25、b

26、≤b≤

27、b

28、，所以-(

29、a

30、+

31、b

32、)≤a+b≤

33、a

34、+

35、b

36、,所

37、以

38、a+b

39、≤

40、a

41、+

42、b

43、（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于

44、x

45、≤m）.又

46、a

47、=

48、a+b-b

49、≤

50、a+b

51、+

52、-b

53、,即

54、a

55、-

56、b

57、≤

58、a+b

59、.综上定理1得证。定理2若a,b∈R,