有趣的图形数.docx

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1、有趣的图形数2010-04-2917:44:11

2、分类：数学珍闻

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4、字号大中小订阅古希腊有位数学家叫达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的献。达哥拉斯“数是万物之源”。1表示点，2表示，3表示面，4表示体。世万物无一不是由点、、面、体所成，而1＋2＋3＋4＝10，因此，10就可以表示宇宙。达哥拉斯把自然数看成是点的化身，尤其看重能排成三角形、正方形、方形的数。下面我就用三种数推出一些非常重要的常用公式。公式一：两个三角形数可以成一个方形数：所以(1＋2＋3＋4＋5)×2＝5×6，即推而广之，如果三角形数有n，方形数就有n，每有n＋1个点，于是得到求自然数的

5、和的公式：公式二：正方形数可以划分：所以1＋3＋5＋7＋9＝52。推而广之，如果正方形数有n，第n就有2n－1个点，于是得到求奇数和的公式：1＋3＋5＋⋯＋(2n－1)＝n2公式三：方形数可以划分：所以2＋4＋6＋8＋10＝5×(5＋1)。推而广之，如果方形数有n，第n就有2n个点，于是得到求偶数和的公式：2＋4＋6＋⋯＋2n＝n(n＋1)公式四：正方形数可以划分：先按横行从1加到5，再按列从4加到1，即1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52。推而广之，如果正方形数有n，于是得到求从1到n再到1的自然数之和的公式：1＋2＋3＋⋯＋n＋(n－1)＋(n－2)＋⋯＋2

6、＋1＝n2形数把抽象的数与直的形巧妙地在一起，种数形合的方法是一种重要的常用的数学思想方法。下面我一步用种方法再推出两个比复一点的重要公式。公式五：把5个正方形数12、22、32、42、52稍加形，排成左下方的“摩天大楼形”：在它的两各加上同的5个正方形数，得到一个像右上方那的方形数。摩天大楼形数等于12＋22＋32＋42＋52方形数是它的3倍。从下往上看，个方数有层。从最上层看，每层有2×5＋1个点。所以长方形数等于于是推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：真是妙不可言！公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。观察发现，虽然有

7、两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。因此可以说，这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的。所以它的面积等于2222233331×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝1＋2＋3＋4＋53而大正方形的边长等于面积等于边长的平方。于是推而广之，就得到求连续立方数的和的公式：真是不可思议！上面我们用数形结合与合情推理的方法，妙趣横生地得到了六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在奥秘所陶醉，为她那无与伦比的美所倾

8、倒。这，就是数学的魅力！