资源描述：
《高考数学专题复习讲座.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高考数学专题复习讲座专题3：数列、极限、数学归纳法【例1】在数列{an}中,a1=b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。（1）求证：数列{an}不是等比数列；（2）设bn=a1S1+a2S2+…+anSn，
2、q
3、<1，求bn。解：（1）证明：由已知S1=a1=b∵{Sn}成等比数列，且公比为q。∴Sn=bqn－1，∴Sn－1=b·qn－2(n≥2)。当n≥2时，an=Sn－Sn－1=bqn－1－bqn－2=b·(q－1)·qn－2故当q≠1时，==q，而==q－1≠q，∴{an}不是等比数列。当q=1，n≥2时，an=0，所以{an}也不是等比数列。综上所述
4、，{an}不是等比数列。（2）∵
5、q
6、<1，由（1）知n≥2，a2,a3,a4，…，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列。∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n－4)∵S2=bq,a2=S2－S1=bq－b∴a2S2=b2q(q－1)∴bn=b2+b2q(q－1)·∵
7、q
8、<1∴q2n－2=0∴bn=b2+b2q(q－1)·=【注】1+q2+q4+…+q2n－4的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。【
9、例1】已知数列{xn}的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn,Sn），若所有这样的点Pn(n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上。（1）求证：数列{xn}是等比数列；（2）设yn=满足ys=，yt=（s,t∈N，且s≠t）其中a为常数，且1M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由。证明（1）∵点Pn、Pn+1都在斜率为k的直线上∴=k，即=k故(k－1)xn+1=kxn∵k≠0,xn+1≠1,xn≠1∴==常数∴{xn}是公比为的等比数列。（2）答案是肯定的，即
10、存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立。事实上，由10首项为x1，则xn=x1·qn－1(n∈N)∴=令d=，故得{}是以d为公差的等差数列。又∵=2t+1,=2s+1∴－=2(t－s)即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)∴d=－2故=+（n－s）·(－2)=2（t+s）－2n+1，（n∈N）又∵xn=(2a2－3a+1)（n∈N）∴要使xn>1恒成立，即须<0∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，当M=t+s,n>M时，我们有<0恒成立，∴当n>M=（t+s）
11、时，xn=(2a2－3a+1)>1恒成立。（∵0<2a2－3a+1<1）【注】（1）点（xn,Sn）在一直线上是{xn}成等比数列的充要条件（其中公比q≠1，斜率k≠0，1）。（2）如果数列{xn}各项是正数且成等比数列，则数列{logaxn}(a>0,a≠1)成等差数列。【例1】在数列{an}中a1=1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列。（1）求a2,a3,a4并推出an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论；（3）求数列{an}所有项的和。解∵an，Sn，Sn－成等比数列∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)（1）把a1=1,S2=a1+a2=1+a
12、2代入（*）式得：a2=－把a1=1,a2=－,S3=+a3代入(*)得：a3=－。同理可得：a4=－由此可以推出：an=（2）（i）当n=1,2,3,4时，由（*）知猜想成立。(ii)假设n=k(k≥2)时，ak=－成立。故Sk2=－·(Sk－)(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=或Sk=（舍去）由Sk+12=ak+1·(Sk+1－)得(Sk+ak+1)2=ak+1·(ak+1+Sk－)+ak+12+=ak+12+－ak+1ak+1=即n=k+1时，命题也成立。由(i)(ii)可知，an=对一切n∈N成立。（3）由（2）得数列前n项的和Sn=故所有项
13、和S=Sn=0【注】（1）本题综合了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识，所采用的方法是归纳、猜想、证明，是数列中最常见的题型，也是高考热点。（2）对于{an}的通项还可以这样来求：∵Sn2=an(Sn－)∴Sn2=(Sn－Sn－1)(Sn－)－=2,故{}是以{}为首项，为公差的等差数列故=+2(n－1)=2n－1Sn=,an=对于含有an,Sn的关系式中，常将an用Sn－Sn－1（n≥2）代（或Sn+1－Sn用an+1代），化成Sn，Sn+1（或an,an+1）的递归关系式。【例1】设An为数列的前n项的和，，数列的通项公式为。（1）
