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1、2013年数学科复习精品学案第33讲圆锥曲线方程及性质一.课标要求:1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。三.要点精讲一.椭圆知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若,则动点的轨迹无
2、图形.知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有和; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上 时,椭圆的焦点坐标为,。 知识点三:椭圆的简单几何性质以及椭圆与(a>b>0)的区别和联系 椭圆的的简单几何性质 标准方程图形性质焦点,,焦距范围,,对称性关于x轴、y轴和
3、原点对称顶点,,轴长轴长=,短轴长=离心率准线方程焦半径,,注意:椭圆,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图): (1),,; (2),,; (3),,;注意: 因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因 此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b时,c=
4、0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2。 1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为
5、正数,且三个量的大小关系为:a>b>0,a>c>0,且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2、y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。4.方程Ax2+By2=C(A、B、C均不为零)表示椭圆的条件 方程Ax2+By2=C可化为,即, 所以只有A、B、C同号,且A≠B时,方程表示椭圆。 当时,椭圆的焦点在x轴上; 当时,椭圆
6、的焦点在y轴上。5.求椭圆标准方程的常用方法: ①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方 程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点,则c相同。 与椭圆(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为(k>-b2)。此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据: ①若把曲线方程中的x换成―x,方程不变,则曲线关于y轴对称; ②若
7、把曲线方程中的y换成―y,方程不变,则曲线关于x轴对称; ③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y,方程不变,则曲线关于原点对称。8.如何解决与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题? 与焦点三角形有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角()结合起来,建立、之间的关系.9.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为c2=a2-b2,a>c>0,用a、b表示为,当越小时,椭
8、圆越扁,e越大;当越大,椭圆趋近圆,e越小,并且0<e<1。二.双曲线1.双曲线的定义(1)第一定义:当时,的轨迹为双曲线;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的两条射线要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<
9、F1F2
10、,这两点与椭
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