函数图象中点的存在性问题.docx

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1、第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B

2、的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得a3．图23所以抛物线的表达式为y3x(x2)3

3、x223x．333（2）由y3x223x3(x1)23，3333第1页共14页得抛物线的顶点M的坐标为(1,3)．所以tanBOM3．33所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A(1,3)、B(2,0)、M(1,3)，3得tanABO3，AB23，OM23．33所以∠ABO＝30°，OA3．OM因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当②如图4，当BAOA3时，BCBA23．此时C(4,0)．BCOM323BCOA3时，BC3BA3236．此时C(8,0)．BAOM图3图4考点伸展在本题情境下，如果

4、△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5第2页共14页例22012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线y1x21(b1)xb（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点444A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰

5、直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2

6、．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,b)．4（2）如图2，过点因此PD＝PE．设点如图3，联结OP．P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．P的坐标为(x,x)．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1bx1bx5bx＝2b．2428解得x16．所以点P的坐标为(16,16)．555第3页共14页图2图3（3）由y1x21(

7、b1)xb1(x1)(xb)，得A(1,0)，OA＝1．4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BAQA，即QA2BAOA时，△BQA∽△QOA．QAOA所以(b)2b1．解得b843．所以符合题意的点Q为(1,23)．4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当BAQA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．QAOA所以C、Q、B三点共线．因此BOQA，即bQA．解得QA4．此时Q(1,4)