复合函数知识总结及例题

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1、复合函数问题一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义

2、域为（1，e）例2.若函数，则函数的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以13即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为-------

3、解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5.若函数的定义域为，则的定义域为____________。解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为，又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种

4、理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记,即13因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上

5、规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤：ⅰ  确定函数的定义域；ⅱ  将复合函数分解成两个简单函数：与。ⅲ  分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ  若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。（4）例题演练例1、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域单调减区间是设则=∵∴13∴>又底数∴即∴在上是减函数同

6、理可证：在上是增函数［例］2、讨论函数的单调性.［解］由得函数的定义域为则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.若，∵为减函数.∴为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2->0是减函数由y=(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，∴a＞1由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当00是增函数由y=(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函

7、数，∴0

8、义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：例1．（1）若，则，，从小到大依次为；（2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为；（3）设，且（，），则与的大小关系是（）（）（）（）（）解：（1）由得，故．13（2）令，则，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴．（3）取，知