石油大学数学物理方程2012-2013-2试卷(a)答案

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1、Ａ卷2012—2013学年第二学期《数学物理方法》试卷专业班级姓名学号开课系室计算数学系考试日期2013年6月9日页号一二三四五六七总分满分24101512151212100得分阅卷人注意事项1.请按规定要求答题，草稿纸见附页；2.试卷本请勿撕开，否则作废；3.本试卷正文共七页，包括七道大题。2012-2013学年第二学期《数学物理方法》试卷A答案一、填空题（每空4分，共计24分）请将正确答案填在题后相应的横线上.1、偏微分方程属于三阶线性非齐次方程（阶数、线性、齐次性）.2、用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题的解是.3、定解问题的解为.4、设是以光滑曲面为边界的有界区域，函数

2、，则第二格林公式为.5、设为有界区域，其边界为分片光滑闭曲面，则如下定解问题有解的必要条件是.6、已知函数的Laplace变换为，则.二、解答题（共2小题，每小题5分，共计10分）.第8页共8页1、设长为的均匀细杆，侧面绝热，两端点的坐标为.在端点处保持温度为，而在处杆是绝热的.已知初始温度分布为，试写出此问题的定解问题.2、将下面定解问题化成可直接用分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的定解问题（无需求出解的具体形式）.解：令，如果满足下面条件：，则关于的定解问题为齐次方程齐次边界条件的。解得：--------------------------------------------

3、-------------2分关于的定解问题为：--------------------------------3分三、计算题（本题15分）用分离变量法求解如下定解问题：第8页共8页第一步：分离变量--------------------------------------------------------------------5分设，代入方程可得，其中为常数。将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题-----------------------------------------------------5分1)若，方程的通解形式为：由定解条件知，从而，不符合要求

4、。2)若，方程的通解形式为：由边界条件知，从而。3)若，方程的通解形式为：代入边界条件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解第8页共8页第三步：叠加，确定叠加系数----------------------------------------------5分由初始条件得：故原方程的解为四、计算题（本题12分）设，用行波法求解下列初值问题：第8页共8页.（一）、求特征线，做特征变换：-----------------------------6分问题中方程对应的特征方程为：则可得特征线为：以及做特征变换则原方程可化为：（二）、积分求“通

5、解”----------------------------------------------------------------2分也即（三）、由定解条件，确定未知函数-------------------------------------------------------4分由定解条件：解得：所以，第8页共8页五、（本题15分）用Green函数法求解边值问题：解：（一）、用电像法求格林函数9分在的空间上放一正单位点电荷，在边界上产生的电位为。关于边界的对称点记作，在处放置电量为负电荷，其在边界上的电位为。a)的坐标为b)为了使边界上的电位为零，也即，由于，所以c)由于在内调

6、和，在上具有连续的一阶偏导数，则得格林函数：（二）、对格林函数求法向导数3分（三）、求解3分第8页共8页六、计算题（本题12分）用积分变换法求解下面问题（提示：）：.解：第一步：通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题------------------6分由题意知，需取关于时间x取拉普拉斯变换，记，对原问题取拉普拉斯变换可得第二步：解此常微分方程定解问题---------------------------------------------------4分上常微分方程的通解为再由定解条件可得，第三步：取Laplace逆变换得原定解问题的解---------------

7、--------------------------2分七、计算题（本题12分）计算下面定解问题：第8页共8页解：步骤一特征函数系----------------------------------------------------------------------2分在特征函数系下展开：其中则：，--------------------------4分步骤二得到常微分方程并进行求解即得：又由初始条件得：解得：时，，时，----------------