电机模型的数值模拟与分析.doc

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1、1.引言自然界和工程技术中的很多现象，如自动控制系统的运行，电力系统的运行，飞行器的运动，化学反应的过程，生态平衡的某些问题。其数学模型都是常微分方程（组）的初值问题。很多偏微分方程（组）也可以化为常微分方程组的初值问题求近似解。一般来说常微分方程（组）的数值解法是比较成熟的，理论也比较完整，有很多方法可以去选择。但是，有一类常微分方程组，在求解时却会遇到相当大的问题，该类方程组的变化非常奇特，它的分量有的变化很快，有的变化很慢，常常出现这种现象：变化快的分量很快的趋于它的稳定值，而变化慢的分量缓慢的趋于它的稳定值。从数值解的观点看，当解变化快时应该用小步长积分，当变化快的分量已趋

2、于稳定，或则说已没有变化快的分量出现时，就应该用较大的步长积分，但是理论和实践都说明，传统的解法容易导致数值不稳定现象的出现，进而带来误差的急剧增加，以致掩盖了真实解，使求解的过程无法继续进行下去。而此类方程的这种特性我们称之为刚性（STIFF）[1].1.1刚性问题的历史回顾对刚性方程的研究，可以追溯到上个世纪。从1883年，Bashforth和Adams发表的著名的论文开始，以及RUNG对单步长的研究，引起了学术界对这一问题的深入探讨的开始。[10]在20世纪中，有限元方程的常微分数值解法取得了非常巨大的研究成果，前人也总结出了很多行之有效的方法，例如：向后差分法，指数拟合方法

3、，Richardson外插方法，具有可变系数的线性多步方法，边界层方法，经典Gear方法，隐式Runge-Kutta方法，组合方法，等效系统替代方法，光滑近似特解方法，矩阵分解方法等等[1]。在对刚性方程论文的检索中，无论是在动力学模型中，还是电机方程的模型中，或者化学方程模型中都有这样子的一个现象。工程系统中的很多实际问题，由于其复杂性，传统的方法往往得不到稳定区域以及数值稳定解，这就迫使我们去寻找更多更有效的方法。多数参考文献所涉及的问题都是工程实际问题，文献[2]中就非线性动力系统的具体情况提出了精细时程积分法，很好的解决了绝对稳定性和高精度的问题，避免了刚性方程的计算危险，

4、进一步表明了用该方法来求解刚性方程的有效性。文献[3]也是对一种动力学模型的研究，对于刚柔耦合多提机械系统动力学微分方程来说，它具有刚性和高频震荡的特性，传统的gear方法失效，R-K方法有带来巨大的计算量，而作者提出的Gill方法却很好的解决了这样的问题。文献[4]也是一类动力学方程，对于数值计算量非常巨大的中子动力学方程采用全新的消去刚性法，使得稳定步长达到20s计算时间大大下降。文献[5]利用微分方程数值解的离散小波表示，讨论了二维刚性初，边值问题的小波数值算法。特别是用于带奇异摄动的刚性问题。本文对刚性方程的研究也是一类具有奇异摄动性的问题，[5]的思想对本文的研究有很大帮

5、助。文献[6]是对机电耦合系统的研究，由于他励直流电机方程式是典型的非线性方程组，至今没有求出解析解，而作者采用奇异摄动法求出这一问题的渐近稳定解。文献[6]与本文的研究方向相似，都是研究电机模型分析，对本文的研究有很好的借鉴性。文献[7~8]分别阐述了一种对于各自特色的刚性方程的新的解法。文献[9]是一类化学反应模型，由于此类方程组刚性强，当流动接近平衡时，化学组分连续方程的数值积分会出现不稳定现象，而经典吉尔方法很好的解决了这一难题。以上的资料都表明在实际生活中，刚性现象无处不在，解决好刚性问题对我们的实际生活意义重大。文献[11~13]讲述了国外学者在常微分刚性问题上面的研究

6、结果，给了我们很多的启示。文献[14]对常微分方程组的解法作了一个回顾，常微分方程可分为刚性和非刚性两类，因为大部分工业实际问题都属于刚性问题，以至于刚性方程的求解成为一个热点问题。1.2问题的提出通过对参考文献的仔细阅读，不难发现刚性问题的重要性，以及它在实际工程领域的地位。本文作为对其中一个方面--电机方程中的机电耦合系统的研究，了解到机电耦合系统的状态方程组一般都是非线性的，大多数学者都认为只能对其采用传统的常微分方法来求数值解，而实际上机电耦合系统状态方程组是典型的非线性方程，并且是刚性现象相当严重的非线性方程组。使用传统的常微分数值方法求解，容易带来数值解的不稳定性与误差

7、。为此，对该类型方程应该从刚性这个方向上去寻求新的更有效的方法。本文采用的是一种有别于传统常微分数值解法的方法，用适合刚性方程的解法来解决文献[10]中方法使用错误所带了的误差。本文试图找到一种可靠的方法用于为该类刚性现象及其严重的方程组寻求数值解。虽然本文只是对电力系统中的一种电机模型--他励直流电机模型进行了分析,但其结果对一般的刚性模型都有使用价值和参考意义。2初值问题及其数值分析算法2.1刚性问题简介在可以用常微分方程来描述的许多实际的物理或化学过程中，往往包