数学思想方法(一)2009.doc

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1、数学思想方法（一）2009.2.25实验中学黎东材【总述】数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点，是知识转化为能力的桥梁。高考对数学思想和方法的考查是以知识为依托，以能力为目的。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识发生、发展和应用的过程中。因此，在高考中对数学思想和方法的考查必然要与数学知识相结合，以数学知识为素材，考查学生对数学思想和方法的理解和掌握程度。高考对数学思想和方法的考查贯穿于整份试卷之中。客观型试题虽以考查数学基础知识、基本技能为主，但对数学思想和方法的考

2、查也蕴含之中。解答题的考查要求能更深刻的体现出数学思想和方法在考查创新意识、应用意识、综合能力中的地位和作用。【函数与方程的思想】函数是高中代数内容的主干。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括和提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题，寒暑思想贯穿于高中代数的全部内容。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。(1)函数和方程是密切相关的，对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程

3、问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程，就是求函数的零点。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4)函数与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用

4、布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。函数与方程、不等式是通过函数值等于零，大于零或者小于零二互相联系的，他们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想和方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。一、函数与方程1.方程的解所在的区间为（C）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2．(07天津)设均为正数，且，，.则（A）A.B.C.D.3．(07湖南)函数，函数，则方程的解有（B）个A.4B.3C.2D.1二、函数与不等式4．如果函数对于任意实数，都有，那么（A）A.B.C.

5、D.5．（07安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（B）A.a＜-1B.≤1C.＜1D.a≥16.（08天津卷）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（B）（A）（B）　（C）（D）7.（04天津卷）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（A）A．B．C．D．8．（全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。解：（Ⅰ）①由方程②因为方程②有两个相等的根，所以，即由于代入①得的解析式（Ⅱ）由及由解得故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是三、函数

6、与方程的思想贯穿高中数学9．（08安徽卷）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是1。10．（08四川卷）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为____4____。11．数列中，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是。12．（07全国1理）的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。13．（08崇文一模）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，D是AB的中点.（I）求AC1与平面B1BCC1所成角的正切值；（II）求证：AC1∥平面B1DC；（III）已知E是A1B1的中点，点P为一动点，记PB1=x.点

7、P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A1→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P—BCC1的体积表达式V（x）.14.（07全国2）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（B）A．9B．6C．4D．32r日r15．（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．【分类讨论思想方法】引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如绝对值的定义（

8、2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范