离散数学 第六章.ppt

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1、第六章几个典型的代数系统第六章几个典型的代数系统6.1半群与群6.1.1半群与独异点6.1.2群的定义与性质6.1.3子群6.1.4陪集与拉格朗日定理6.1.5正规子群与商群6.1.6循环群和置换群6.2环与域6.2.1环的定义与性质6.2.2整环与域6.3格与布尔代数6.1半群与群半群、可交换半群和独异点定义6.1①设V=是代数系统,˚为二元运算,如果˚是可结合的,则称V为半群．②如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点.定义6.2如果半群V=中的

2、二元运算˚是可交换的,则称V为可交换半群.注:为了强调幺元的存在,有时将独异点记为6.1.1半群与独异点例6.1①是半群②,,,都是半群和独异点，其中+表示普通加法,幺元是0,,…,③是半群和独异点,其中·表示矩阵乘法,矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.记作④是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算,其幺元是,记作⑤是半群和

3、独异点,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法,模n加法的幺元是0.其中:①②④⑤为可交换半群.6.1.1半群与独异点例6.2判断下述论断正确与否,在相应的括号中键入“Y”或“N”.(1)在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的a,b∈R,a*b=a+b+ab(a)是一个代数系统；()(b)是一个半群；()(c)是一个独异点。()(2)在实数集R上定义二元运算◦为,对任意a,b∈R,a◦b=

4、a

5、·b(其中·表示通常数的乘法运算)(a)是

6、一个代数系统；()(b)是一个半群；()(c)是一个独异点。()6.1.1半群NYYYYY子半群和子独异点定义:半群的子代数叫做子半群,即:如果V=是半群,就是V的子半群,需要满足如下两个条件:①T是S的非空子集;②T对V中的运算˚是封闭的.定义:独异点的子代数叫做子独异点,对独异点V=,构成V的子独异点,需要满足如下条件:①T是S的非空子集;②T要对V中的运算˚封闭;③e∈T.6.1.1半群与独异点群的定义定义6.3设是代数系

7、统,◦为二元运算.如果◦是可结合的,存在幺元e∈G,并且G中的任意元素x,都有x-1∈G,则称G是群.例6.3①,,都是群;②是群,其中表示集合的对称差运算,元素的逆元是自身;③是群,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法,0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.6.1.2群的定义与性质6.1.2群的定义与性质e为G中的幺元,◦是可交换的.任何G中的元素与自己运算的结果都等于e.在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于

8、另一个元素.一般称这个群为Klein四元群.例6.4设G＝{e,a,b,c},◦为G上的二元运算,它由以下运算表给出,不难证明G是一个群.6.1.2群的定义与性质群的术语(1)若群G中的二元运算是可交换的,则称群G为交换群,也叫做阿贝尔(Abel)群．例①,,都是群,也是阿贝尔(Abel)群;②是群,也是阿贝尔(Abel)群;③是群,也是阿贝尔(Abel)群.④Klein四元群也是阿贝尔群．(2)若群G中有无限多个元素,则称G为无限群,否则

9、称为有限群,只含幺元的群为平凡群.例如,,都是无限群.是有限群.Klein四元群也是有限群.6.1.2群的定义与性质群的术语(3)群的阶:对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶,记作

10、G

11、.例如:是有限群,其阶是n;Klein四元群也是有限群,其阶是4.(4)xn定义:x0=e,xn+1=xn◦x,x-n=(x-1)n(5)元素x的阶:设G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正整数k叫做x的阶(或周期).如果不存在正整数k,使xk＝e,则称x是无限阶元.注:

12、对有限阶的元素x,通常将它的阶记为

13、x

14、.在任何群G中幺元e的阶都是1．6.1.2群的定义与性质群的术语例.在Klein四元群中,

15、a

16、=?,

17、b

18、=?,

19、c

20、=?,

21、e

22、=?返回6.1.2群的定义与性质群的性质定理6.1设G为群,则G中的幂运算满足(群中元素的幂)(1)x∈G,(x-1)-1＝x(2)x,y∈G,(xy)-1＝y-1x-1(3)x∈G,xnxm＝xn+m(4)x∈G,(xn)m＝xnm(5)若G为交换