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时间:2021-01-16
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1、高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:一、求表达式:1.换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1:已知,求.解:设,则∴∴2.凑合法:在已知的条件下,把并凑成以表示的代数式,再利用代换即可求.此解法简洁,还能进一步复习代换法。例2:已知,求解:∵又∵∴,(
2、
3、≥1)3.待定系数法:先确定函数类型,
4、设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。例3.已知二次实函数,且+2+4,求.解:设=,则=比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当>0时,,求解:∵为奇函数,∴的定义域关于原点对称,故先求<0时的表达式。∵->0,∴,∵为奇函数,∴∴当<0时∴例5.一已知为偶函数,为奇函数,且有+,求,.解:∵为偶函数,为奇函数,∴,,不妨用-代换+=………①中的,∴即-……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出的表达式例6:设的定义域为自然数集,且
5、满足条件,及=1,求解:∵的定义域为N,取=1,则有∵=1,∴=+2,……以上各式相加,有=1+2+3+……+=∴二、利用函数性质,解的有关问题1.判断函数的奇偶性:例7已知,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。证明:令=0,则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。2.确定参数的取值范围例8:奇函数在定义域(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。解:由得,∵为函数,∴又∵在(-1,1)内递减,∴3.解不定式的有关题目例9:如果=对任意的有,比较的大小解:对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小,(1)=(3
6、)∵在[2,+∞)上,为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。解:设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f(x)为增函数。在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(
7、x),f(x)为奇函数,∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,∴f(x)的值域为[-4,2]。例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则,即,∴f(x)为单调增函数。∵,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴,即,解得不等式的解为-18、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。解:(1)令y=0代入,则,∴。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(9、x)的解析式,如不存在,说明理由。分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。综上所述,x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:(1)f(1);(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。解:(1)∵10、,∴f(1)=0。(2),从而有f(x)+f(x-8
8、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。解:(1)令y=0代入,则,∴。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(
9、x)的解析式,如不存在,说明理由。分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。综上所述,x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:(1)f(1);(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。解:(1)∵
10、,∴f(1)=0。(2),从而有f(x)+f(x-8
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