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1、第七单元平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量模零向量长度为0的向量,其方向是任意的记作单位向量长度等于1的向量常用表示平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为∥；与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量=相反向量长度相等且方向相反的向量与为相反的向量,则=-(2)的相反向量为2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)
2、+c=a+(b+c).减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)
3、λa
4、=
5、λ
6、
7、a
8、.(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.题型一平面向量的有关概念典例分析【例1】给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若
9、a
10、=
11、b
12、,则a=b;③在ABCD中,一定有;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥
13、b,b∥c,则a∥c.其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.解选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故①不正确;
14、a
15、=
16、b
17、,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的情况:①零向量与任何向量共线;②单位向量的
18、长度为1，方向不固定.举一反三1.已知下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同;②在△ABC中,必有;③若,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a与b均为非零向量,则
19、a+b
20、与
21、a
22、+
23、b
24、一定相等.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①错误,a+b=0时,就不满足结论;②正确,∵;③错误,A、B、C三点还可以共线;④错误,只有a与b同向时才相等.答案：B题型二平面向量的线性运算【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点,求证:分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用来分
25、别表示待求的向量.证明因为所以,即.同理所以,故.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有(其中O为任一点).举一反三2.如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使,DC与OA交于E;设试用a,b表示向量和向量.解析：∵A是BC的中点,∴OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,C
26、D=3(a-b),BC=2a+8b,求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理，得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合;从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,∴BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思
27、想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.举一反三3.设两个非零向量不共线,已知若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：.若A、B、D三点共线,则AB∥BD,从而存在唯一实数λ,使AB=λBD,即整理得,∵不共线,∴解得λ=2,k=-8.即k的值为-8时,A、B、D三点共线.题型四向量知识的综合应用【例4】(12分)已知向量其中为两个非零不共线向量.问:
