幂函数的性质与图像.docx

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1、幂函数的性质与图像上海南汇中学周静波【教学目标】1、掌握幂函数的概念。2、掌握幂函数的性质和图像。3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。【教学重点】幂函数的图像与性质【教学难点】幂函数的图像教学过程一、回顾与本堂课相关的知识点(1)若ab0，则akbk0。(kN*)(2)若ab0，则kakb0。（kN*且k1）(3)有理数集Q={x

2、xq,p,qZ,p0,p,q互质}p(4)如图:ak指数幂底数二、新课1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为x，指

3、数是一个有理数的形式。x2x311(1)yyyxx2y3xx31x11x21x311(2)yyyyx2xx2x3x11yx33x这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。2、定义q形如yxp，（其中p,qZ,p0且p,q互质）的函数叫幂函数。注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，指数是有理数q。p练习判断：下列各式中表示幂函数的有（）答案：CEF1B、yxx2D、y2xA、y3x2C、yx3E、y7x4F、yx0.5G、yx

4、2思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？（回顾第三章的内容——函数的性质考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）3、研究探索1例1、研究函数yx2的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。1解：函数yx2的定义域为(0,)，值域为(0,)。（1）奇偶性。因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。（2）单调性。对任意x1,x2(0,)，且x1x2可得0x1x2则110即y1y2x1x21所以函数yx2在(0,)上为减函数。给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。幂函数会

5、具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数由以上几点分析函数的图像的性质：由x0,y0，可知函数的图像只在第一象限；由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。x0.250.5123412.01.410.70.60.5yx2描点作图：1yx21.4y10.7O0.512x2例2、指出yx3的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。23x2解：yx3定义域为R，值域为[0,)（1）奇偶性。对任意xR，满足xR，使得f(x)3(x)23

6、x2f(x)所以该函数是偶函数。（2）单调性。对任意x1,x2[0,)，且x1x2所以0x12x22，故有03x123x22即y1y22所以yx3在[0,)上为增函数。2同理可得yx3在(,0]上为增减数。描点作图：1x01234203113439yx316作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。y2yx31O1x2在作函数yx3的图像时，可以先描点作出该函数在第一象限内的图像，再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。小结：研究函数图像的基本步骤（方法）1、由定义域、值域判断函数在坐标

7、系中的位置。2、由单调性判断图像的变化趋势。3、由奇偶性判断函数图像是否对称。7练习：指出函数yx3的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。定义域：R值域：R奇偶性：奇单调性：增函数4、归纳总结y1O1qx学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。思考：幂函数y的特点。）yxp有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像qq1p1p1q0p1q0pO1x小结：幂函数图像在第一象限的特点。（1）图像必过(1,

8、1)点。（2）q1时，过(0,0)点，且随x的增大，函数图像向y轴方向p延伸。在第一象限是增函数。（3）q1时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数。（在整p总结：幂函数图像在第一象限内的特点。个定义域内都是增函数。）q（4）10时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。在第p一象限是增函数。（5）q0时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但p永不相交。在第一象限是减函数。三、本课总结：1、了解幂函数的概念。（并回顾了相关的知识点）2、学习如何通过对函数性质的研究作出函数的图像。3、掌握幂函数的图像与

9、性质。四、作业练习册P411—3题一课一练P74—75课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。