反函数的导数,复合函数的求导法则.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§2.3反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设x(y)是直接函数，yf(x)是它的反函数，假定x(y)在Iy内单调、可导，而且(y)0，则反函数yf(x)在间Ix{x

2、x(y),yIy}内也是单调、可导的，而且1f(x)(y)(1)证明：xIx，给x以增量x(x0,xxIx)由yf(x)在Ix上的单调性可知yf(xx)f(x)0y1xx于是y因直接函数x(y)在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数yf(x)在Ix上也是连续的，当x0时，必有y0y11limlim(y)x0

3、xy0xyf(x)1(y)即：【例1】试证明下列基本导数公式(1).(arcsinx)11x2(2).(arctgx)1x21(3).(logax)1xlna1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯证1、设xsiny为直接函数，yarcsinx是它的反函数函数xIy(,)xcosy0siny在22上单调、可导，且因此，在Ix(1,1)上，有(arcsinx)1cosy注意到，当y(2,2)时，cosy0，cosy1sin2y1x2(arcsinx)11x2因此，证2设xtgy，Iy(,)22则yarctgx，Ix(,)在Iy

4、上单调、可导且x10xtgycos2y(arctgx)1cos2y11故(tgy)1tg2y1x2证3(logax)111(ay)aylnaxlna类似地，我们可以证明下列导数公式：(arccosx)1x21(arcctgx1)x21(lnx)1x二、复合函数的求导法则2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯如果u(x)在点x0可导，而yf(u)在点u0(x0)可导，则复合函数yf[(x)]在点x0可导，且导数为dyf(u0)(x0)dxxx0limyf(u0)证明：因u0x，由极限与无穷小的关系，有yf(u0)uu(当u

5、0时,0)用x0去除上式两边得：yfuux(u0)xx由u(x)在x0的可导性有：x0u0，limylim[f(u0)xx0x0f(u0)limx0limlim0x0u0uu]xxulimlimuxx0x0xf(u0)(x0)dyf(u0)(x0)dx即xx0上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u(x)在开区间Ix可导，yf(u)在开区间Iu可导，且xIx时，对应的uIu，则复合函数yf[(x)]在Ix内可导，且dydydudxdudx(2)复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。dy【例2】yf{[(x)]}，求dx引入中间变量，设v(x)，u(v)，于是yf(u)变量关系是yuvx，由锁链规则有：dydydudvdxdudvdx(2)、用锁链规则求导的关键引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。dy【例3】求ysin2x的导数dx。解：设u2x，则ysinu，u2x，由锁链规则有：dydydu(cosu)22cos2xdxdu(sinu)(2x)dxylntgxdy【例4】设2，求dx。4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯dydydudv由锁链规则有dxdudvdx111ucos2v2(基本初等函数求导)111xcos2x2tg2(消中间变量)21sinx由上例，不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。请看下面的演示过程：dyx1x(tgx11xdx(lntg2)2)tgxcos2x(2)tg2221x11(x)x1x1tg2x2tgcos2sinxcos22222【例5】证明幂函数的导数公式(x)x1为

8、实数)。，(证明：设yxelnx5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯yelnx(lnx)elnx1x1x6