二次函数拔高综合题全集.doc

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1、1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。28题图．解：（1）由题意，得（1分）解得（2分）所求抛物线的解析式为：．（3分

2、）（2）设点的坐标为，过点作轴于点．由，得，．点的坐标为．（4分），．，．，即．．（5分）（6分）．又，当时，有最大值3，此时．（7分）（3）存在．在中．（ⅰ）若，，．又在中，，．．．此时，点的坐标为．由，得，．此时，点的坐标为：或．（8分）（ⅱ）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得：，，在等腰直角中，．．由，得，．此时，点的坐标为：或．（9分）（ⅲ）若，，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．（10分）综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或2.二次函数和矩形、等腰三角形：如

3、图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．yxBCOADE图5-1yxBCOADE

4、图5-2PMN解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，在中，，．．．点坐标为（2，4）．2分在中，，又．．解得：．点坐标为3分（2）如图①，．，又知，，，又．而显然四边形为矩形．5分，又yxBCOADE图①PMNF当时，有最大值．6分（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）在中，，，为的中点，．又，为的中点．过点作，垂足为，则是的中位线，，，当时，，为等腰三角形．此时点坐标为．8分（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）yxBCOADE图②PMNF在中，．过点作，垂足为．，．．，．，，当时，（），此时点坐标为．11分综

5、合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;第26题图⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为………………………………1

6、分根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为………………………………………2分⑵存在。…………………………………………………………………………3分由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y＝4－x。…………………………5分又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分解得，，应舍去。∴。……………………7分∴，即点P坐标为。……………………8分②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点

7、P坐标为（2，3）。∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分∴,∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形,………………

8、………………………………………12分由∠BCD＝90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。EF综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。…………