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《抛物线》-典型例题12例(含标准答案).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.《抛物线》典型例题12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1））x（2））ay(a0)4yx分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1）p2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y12121（2）原抛物线方程为：yx，paap1①当a0时，，抛物线开口向右，24a11∴焦点坐标是(,0)，准线方程是：x．4a4ap1②当a0时，，抛物线开口向左，24a11∴焦点坐
2、标是(,0)，准线方程是：x．4a4a112综合上述，当a0时，抛物线xay的焦点坐标为(,0)，准线方程是：x．4a4a典型例题二2例2若直线ykx2与抛物线y8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线word资料.斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．kx2y22解法一：设A(x,y)、B(x,y)，则由：可得：kx(4k8)x40．11222y8x∵直线与抛物线相交，k0且0，则k1．x1x24k82，∵AB中点横坐标为：k
3、22解得：k2或k1（舍去）．故所求直线方程为：y2x2．22解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有y18x1y28x2．y1y28两式作差解：(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，即．x1x2y1y2x1x24y1y2kx12kx22k(x1x2)44k4，8k故k2或k1（舍去）．4k4则所求直线方程为：y2x2．典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．AB2分析：可设抛物线方程为y2px(p0)．如图所示，只须证明MM1，2则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作AA1
4、l于A1,BB1l于B1．M为AB中点，作MM1l于M1，则由抛物线的定义可知：AA1AF,BB1BF在直角梯形BB1A1A中：word资料.111MM1(AA1BB1)(AFBF)AB2221MM1AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四2例4（1）设抛物线y4x被直线y2xk截得的弦长为35，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．分析：（1）题
5、可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．2y4x22解：（1）由得：4x(4k4)xk0y2xk2k设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点．则有：x1x21k,x1x2422222AB(12)(x1x2)5(x1x2)4x1x25(1k)k5(12k)AB35,5(12k)35，即k42965（2）S9，底边长为35，∴三角形高h355∵点P在x轴上，∴设P点坐标是(x0,0)2x00465则点P到直线y2x4的距离就等于h，即22521x01或x05，即所求P点坐标是（－1
6、，0）或（5，0）．典型例题五word资料.例5已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PAPN且PNl即可．证明：如图所示，连结PA、PN、NB．由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．∴AN也垂直平分P
7、B．则四边形PABN为菱形．即有PAPN．ABl.PNl.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．典型例题六例6若线段P1P2为抛物线C:y22px(p0)的一条112焦点弦，F为C的焦点，求证：．P1FP2Fp分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．p证法一：F(,0)，若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，211112则有P1FP2F
8、p,．P1FP2Fpppword资料.p若线段PP所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：yk(x)(k0)，且122设P1(x1,y1),P2(x2,y2)．pyk(x)222222kp由得：kxp(k2)x0p4yk(x)22p(k2)x1x22①k2px1x2②4pp根据抛物线定义有
