初中数学竞赛辅导资料（63）动态几何的定值.doc

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1、动态几何的定值甲内容提要1.动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.　例如：①梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线；②两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；③相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2.动态几何的轨迹、极值和定值.　几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定

2、值问题.　例如：半径等于RA的圆A与半径为RB　(RB>RA)　的定圆B内切.那么：　动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆.　而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA.若另有一个半径为RC的圆C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围：RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA.所以AC有最大值：2RB+RC－RA；且有最小值：RC+RA.3.解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：①先探求定值.　它要用题中固有的几何量表示.②再证明它能成立.探求的方

3、法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题例1.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PE＋PF有定值.例2.　已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2＋PB2有定值.例3.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，例4.　已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交

4、于点C.求证：∠ACB有定值.，..丙练习631.　用固有的元素表示下列各题中所求的定值　(不写探求过程和证明)：①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________.②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.③.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它们的度数和是________，延长凸n边形　(n≥5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是___________.　　　　　　　　　　　　(2001年希望杯数学邀请赛初二试题)

5、⑤.两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交一圆于C，交另一圆于D，则有定值是_____________.　　　⑥.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，则AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　　　⑦.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，PB分别交AB的中垂线于E，F.则OE×OF有定值是__________.2.　已知：点P是⊙O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.求证：PC2+PD2有定值.3.　已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上

6、，PD⊥BA交BA延长线于D，PE⊥AC交AC的延长线于E.求证：∠DOE是定角4.　已知：点P是线段AB外一点，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中点.　　　　求证：CH+DH是定值.5.　已知：AB，CD是⊙O的两条直径，点P是⊙O上任一点(不含A，B，C，D)..　　　　求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.6.　经过∠XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.7.△ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC(i=1,2,3,

7、……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.(1990年全国初中数学联赛题)8..直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，①BCPQ为平行四边形？等腰梯形？②PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？