固体物理课件——第五章.ppt

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1、第五章声子Ⅱ:热学性质本章是从量子角度讨论内能热容晶体的比热实验规律下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。(1)在高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个数,kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量)；(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。晶体的定容比热定义为：晶体比热的一般理论---晶体的平均内能晶格振动比热晶体电子比热本节只讨论晶格振动比热。晶格比热的经典理论:杜隆--珀替定律根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子，则总自由度为：3N。低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论

2、称为杜隆--珀替定律。但实际上，实验表明在低温时，晶体的比热按T3趋于零。§1.点阵热容C=dU/dT吸热—>内能增晶格振动—>可用格波描述谐振子—>声子数（反映格波的能量）。反之，系统能量=“所有格波：对应的能量（声子数）之和”。(声子数对应于格波振幅)任一格波对应于多个能量值(声子数)：如何确定该格波所对应的能量值平均声子数每个能量状态出现的几率不同附：平均声子数的推导过程统计规律：声子分布满足波尔兹曼分布条件即能量出现的几率：与能量称反比。能量越高（声子数越多），出现几率越低。平均声子数令：附：平均声子数的推导过程根据色散关系：在动量空间（k空间

3、中）作出色散图。将所有具相同ω的k连接起来，则形成一个平面。该平面称为等能面，显然所有在等能面上的k具有相同的（平均）声子数。对平均声子数的说明式中，只与ωs、T有关。(与K无关)ωs是标量。相同的ωs，可同时对应多个不同的k。K分布的特点:均匀分布,每k占有体积一定。如此，晶格振动的总能量=所有谐振子对内能的贡献：可将各谐振子按照频率进行分类：将同频率(ω)的格波归为一组（即ω同，k不同，假设对应的数目为数目为Z(ω)个）。则内能表达式变为振动模式（格波）数很多，求解不方便只与ω相关。ω相同平均声子数相同相同的ω，不同的k，只是对应的格波不同，

4、但平均声子数一样，可放在一起。据此可引入“模式密度”概念：原来的计算方法：对所有格波逐个累加多且杂！现在的计算方法：相同的ω放在一起,数目用因子Z(ω)来表达，然后累加相对简洁！1.简正模式密度D(ω)的定义定义:在频率ω附近dω范围内共含有dZ个简正模式，则模式密度定义如下：引入简正模式密度后，则热能可表示为：（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）。它反应的是单位频率间隔中所含有的简正模式数。指K空间中，ω附近相距dω两等能面所包围体积中含有的模式数2.模式密度的计算方法1).求波矢K的分布密度：k均匀分布2).a、求间距为dω的等能面内所包含

5、的体积b、或ω等能面内拥有的总共模式数，再求导波矢密度两个等频率面间的体积每一支格波的振动模式数每一支格波的模式密度晶格总的模式密度两个等频率面间的波矢数1、ω表面积S∙dk知道ω~k关系（规则表达式—电子）2、VdV～dk关系隐藏，无必要分布密度OR波矢密度简单解决！不要弄很复杂一维三维隐藏，无必要色散关系与模式密度qyqx体积元：dq：两等频面间的垂直距离,ds：面积元。体积元包含的波矢数目：隐藏，无必要由梯度定义知:代入上式得三维一维隐藏，无必要若在某些点（或某些频率上）出现vg=0的情况，可能不会是发散的，但它的一阶导数是发散的，此时D(ω)将出现奇

6、点，称为VanHove奇点。上面的计算只考虑了色散关系的一支，求出了模式密度，若有多支色散关系，则：隐藏，无必要利用上式只要知道色散关系及声子等能面的形状就可求出模式密度，但是在一般情况下利用上式计算模式密度是非常困难的，上式只不过是一个理论公式而已。隐藏，无必要例1：一维模式密度的计算分布密度×体积(长度)其中，dZ是指K空间中相隔dω(对应dk)厚度的(等能面)空间中所包含的体积。Vg为群速度，当Vg=0，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一维模式密度的VanHove奇点，在奇点，晶体的热学性质要出现反常。例2：三维模式密度的计算分布密度×体积其中

7、，dV是指K空间中相隔dω厚度等能面中所包含的体积。显然，dV与色散关系函数(相当于等能面)息息相关！假设ω~k关系是线性的，即：ω＝ck例：等能面是球面形状。可见，色散关系对模式密度有直接性的影响。根据对色散关系的不同预测情况，两种常见模型(1)、德拜模型(晶体低温时的模型)模式密度球体分布德拜对色散关系的假设(假设1)：这实际上是（低温）长声学支模式将Vg带入上页D(ω)公式即得对应的附：若考虑同一振动模式(k、ω相同)的不同振动方向(纵波、横波)的影响，则：对于纵波：对于横波：可将三种模式合并:函数图形如下，是一个抛物线性函数：可见，随ω增加，总模式数

8、：→∞发散。这个结果表明，总的模式数有