最新椭圆的经典知识总结学习资料.doc

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1、椭圆知识总结班级姓名椭圆的定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.　注意：若，则动点的轨迹为线段； 　　　　　若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何

2、性质　椭圆：的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率： 　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 　

3、②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；（2）；；；　　（3）；；；知识点四：椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中

4、心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义 椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。可借助右图理解记忆：显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已

5、知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。

6、7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： ①若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；②若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；③若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。显然：

7、当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。1.椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥通径2.点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）