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《高等数学第9章d98极值与最值教学教材.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学第9章D98极值与最值说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P121).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第
2、二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的
3、面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无
4、条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.分析:如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题,故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最
5、小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省?的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时,所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.最省,内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设
6、拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停P1173,5,9,10,13习题课作业注备用题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的
7、圆心角为x,y,z,它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为注则注因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者.若∆ABC位于半圆内(如图),则其BC边上的高小于∆A1BC同边上的高,故前者的面积小于后者,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以3.设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电电视机的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产处于平衡状态,即生产量等于销售量.根据市场预测,x与p满足关系:其中M是最大
8、市场需求量,a是价格系数.又据对生产环节的分析,预测每台电视机的生产成本满足:其中c0是生产一台电视机的成本,k是规模系数.问应如何确定每台电视机的售