控制系统典型的输入信号

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1、第3章辅导控制系统典型的输入信号1.阶跃函数阶跃函数的定义是式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为xr(t)＝l(t)，或xr(t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为Xr(s)=L[1(t)]=1/s在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。2.斜坡函数这种函数的定义是式中A为常数。该函数的拉氏变换是Xr(s)=L[At]=A/s2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当A＝l时，

2、称为单位斜坡函数，如图所示。143.抛物线函数如图所示，这种函数的定义是式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是Xr(s)=L[At2]=2A/s3当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。4.脉冲函数这种函数的定义是式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图所示。单位脉冲函数的面积等于l，即14在t＝t0处的单位脉冲函数用δ(t-t0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，

3、但在系统分析中却很有用处。单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。控制系统的时域性能指标对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。1动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间。上升时间阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。峰值时间阶跃响应越过稳态值达到第一个峰值所需的时间。调节时间阶

4、跃响到达并保持在终值％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的％误差带来定义调节时间。超调量％峰值超出终值的百分比，即％％在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间（描述“快”），超调量％（描述“匀”）以及峰值时间。2稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。14一阶系统的阶跃响应一.一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。因为单位阶

5、跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为取C(s)的拉氏反变换得或写成式中，css=1，代表稳态分量；代表暂态分量。当时间t趋于无穷，暂态分量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应二阶系统的阶跃响应典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：式中Kv--开环增益；ωn--无阻尼自然频率或固有频率，；ζ--阻尼比，。二阶系统的闭环特征方程为s2+2ζωns+ω2n=0其特征根为141.临界阻尼(ζ=1)其时域响应为上

6、式包含一个衰减指数项。c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b所示。(a)(b)(c)ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应2.过阻尼(ζ＞1)具有两个不同负实根的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。图为其特征根分布图。3.欠阻尼（0<ζ＜1）图3-90<ζ＜1时二阶系统特征根的分布图3-10欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应4.无阻尼(ζ＝0)其时域响应为在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，14图ζ＝0时特征根的分布图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应5.负阻尼（ζ＜0

7、）当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e的指数将是正的时间函数，因而为发散的，系统是不稳定的。显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。欠阻尼二阶系统的动态性能指标1.上升时间tr上升时间tr是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间tr则越小；ζ越大则tr越大。固有频率ωn越大，tr越小，反之则tr越大。2.峰值时间tp及最大超调量Mp最大超调量最大超调百分数3.调整时间t

8、s图3-13二阶系统单位阶跃响应的一对包络线图3-14调节时间和阻尼比的近似关系根据以上分析，